Spécialité Maths (1ère/Terminale) - Exercice 1 : trouver le terme général d'une suite --- Solution

Voici l'énoncé et la solution d'un exercice niveau 1ère/Teminale de la spécialité mathématique publié la veille.

Des version téléchargebles (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.  

Thème. Suites, suites géométriques.

Exercice 1.

Le but de cet exercice est de trouver le terme général de la suite

$$\left\{\begin{array}{rclr} u_0&=&4 \\ u_{n+1}&=&2u_n+n^2-n+1 & (n\in\mathbb N) \\  \end{array}  \right.$$

1. La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? géométrique ? 
2. Soit $(p_n)$ une suite telle que $p_n=an^2+bn+b$, où $a,b,c$ sont des réels.
   (a) Déterminer les valeurs de $a,b,c$ pour que pour tout entier naturel $n$,  $$p_{n+1}=2p_n+n^2-n+1$$ On pose $(w_n)$ la suite définie pour tout $n\in\mathbb N$ par $w_n=u_n-p_n$.
   (b) Quelle est la nature de $(w_n)$ ? 
3. En déduire le terme général de $(u_n)$. Vérifier la cohérence du résultat obtenu.

Solution.

1. On peut commencer par calculer quelques termes de $(u_n)$ :  On a $u_1=2u_0+0^2-0+1=2\times 4+1=9$  $u_2=2u_1+1^2-1+1=18+1=19$ On a $u_2-u_1=10$, et $u_1-u_0=5$ donc $(u_n)$ n'est pas artihmétique. On a $\frac{u_2}{u_1}=\frac {19}{9}$ et $\frac{u_1}{u_0}=\frac{9}{4}$, et comme $\frac{19}{9}\neq\frac{9}{4}$(puisque $19\times 4\neq 9\times 9$) alors $(u_n)$ n'est pas non plus géométrique. 
2. Soit $(p_n)$ une suite telle que $p_n=an^2+bn+b$, où $a,b,c$ sont des réels.
   
   (2.a) On a pour tout entier naturel $n$ :   
   • $2p_n+n^2-n+1=2an^2+2bn+2c+n^2-n+1=(2a+1)n^2+(2b-1)n+2c+1$. 
   •$p_{n+1}=a(n+1)^2+b(n+1)+c=an^2+2an+a+bn+b+c=an^2+(2a+b)+a+b+c$.
   Ainsi  $$p_{n+1}=2p_n+n^2-n+1 \Longleftrightarrow an^2+(2a+b)+a+b+c = (2a+1)n^2+(2b-1)n+2c+1$$
   Pour que $p_{n+1}=p_n+n^2-n+1$, il suffit que $(a,b,c)$ soit solution du système $$(S)\ \ \left\{\begin{array}{rcl}  a&=&2a+1\\ 2a+b&=&2b-1\\ a+b+c&=&2c+1\\ \end{array}\right.$$ Résolvons de système : $$(S) \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}  -1&=&a\\ -2&=&b-1\\ -1+b&=&c+1\\   \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}  -1&=&a\\ -1&=&b\\ -3&=&c\\   \end{array}\right.$$
   L'unique solution de $(S)$ est $(-1,-1,-3)$. La suite $(p_n)$ définie pour tout $n\in\mathbb N$ par $p_n=-n^2-n-3$ vérifie pour tout $n\in\mathbb N$ : $p_{n+1}=p_n+n^2-n+1$.
   Remarque. Nous avons montré que la suite telle que pour tout $n\in\mathbb N$, $p_n=-n^2-n-3$ vérifie pour tout $n\in\mathbb N$, $p_{n+1}=p_n+n^2-n+1$. Nous n'avons pas besoin de la réciproque : $(-n^2-n-3)$ est la seule suite de la forme $(an^2+bn+c)$ vérifiant $p_n=-n^2-n-3$. Cette réciproque est pourtant vraie par la propriété d'identification des coefficients des polynômes (comme le polynôme est de degré 2), mais ce n'est une propriété de lycée.
3. 
   (2.b) Pour avoir une idée de la réponse, on peut commencer par calculer quelque termes de $(w_n)$.
   On a  
• $p_0=-0^2-0-3=-3$   
• $p_1=-1^2-1-3=-5$   
• Ainsi $w_0=u_0-p_0=4-(-3)=7$  $w_1=u_1-p_1=9-(-5)=14$ $w_2=u_2-p_2=19-(-9)=28$ La suite $(w_n)$ semble être géométrique de raison $2$. Essayons d'exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $w_n$ pour vérifer cette conjecture. On a pour tout entier naturel $n$ : $$\begin{array}{rcl} w_{n+1}&=&u_{n+1}-p{n+1}\\  &=&2u_n+n^2-n+1-(2p_n+n^2-n+1)\\  &=&2u_n-2p_n\\ &=&2(u_n-p_n)\\  &=&2w_n   \end{array}$$
  
  On a bien montré que $(w_n)$ était une suite géométrique de raison $2$. 
4. D'après ce qui précède, $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $2$ est de terme initial $w_0=7$.
   Ainsi pour tout $n\in \mathbb N$, on a $w_n=7\times 2^n$. Or $w_n=u_n-p_n\Longleftrightarrow u_n=w_n+p_n$, d'où l'on déduit que pour tout $n\in\mathbb N$,
   $$u_n=7\times 2^n-n^2-n-3$$
   On peut calculer remplacer $n$ par $0$, $1$, $2$ pour vérifier que cela correspond au moins aux calculs réalisés précédemment

• $n=0$ : $7\times 2^0-0^2-0-3 =4$ 
• $n=1$ : $7\times 2^1-1^2-1-3 =9$ 
• $n=2$ : $7\times 2^2-2^2-2-3 =28-9=19$ 

 

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Et ensuite

Exercice suivant (parution six jours après cet article)