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mercredi 13 mars 2024

\mathbb Q (1). Structure de corps de \mathbb Q . Ordre sur \mathbb Q

 Cet article fait suite à : Construction de \mathbb Q.


Dans cet article, nous montrons que \mathbb Q est un anneau commutatif dont chaque élément non-nul possède un inverse pour la multiplication. Autrement dit, \mathbb Q est un corps. Ces notions seront expliquées au cours de ce billet.


On rappelle que \mathbb Z s'identifie à un sous-ensemble de \mathbb Q via a\longleftrightarrow \frac a 1. Autrement dit tout entier relatif a peut être considéré comme un nombre rationnel \frac a 1 que l'on notera a.


Ainsi on notera sans risque de confusion : 0=\frac 0 1 et 1=\frac 1 1.


Pour commencer remarquons que l'addition définie sur \mathbb Q est commutative. En effet comme l'addition et la multiplication de \mathbb Z sont commutatives, on a 

\frac{a}{b}+ \frac p q=\frac{aq+pb}{pq}=\frac{pb+aq}{qp}=\frac p q + \frac{a}{b}


De même le lecteur vérifiera sans difficulté que le produit défini sur \mathbb Q est commutatif.


Strucure d'anneau de \mathbb Q

Propriété 1. 

Si b est un entier relatif non nul, alors \frac 0 b= \frac 0 1=0.

De plus pour tout x\in \mathbb Q, x+0=x=0+x.


Preuve.

On a 0\times 1=0=b\times 0 donc \frac 0 b= \frac 0 1.


Ensuite si x=\frac a b, alors x+0=\frac a b+\frac 0 1= \frac{b\times 1+a\times0}{b\times 1}=\frac{a}{b}=x.


Par commutativité de l'addition, 0+x=x.


0 est donc un élément neutre de l'addition des rationnels. Il n'y en a pas d'autres : si e est aussi un élément neutre alors, on a e=e+0=0+e=0.



Propriété 2. 

(\mathbb Q,+) est un groupe commutatif.


Preuve. 

De ce qui précède, il reste à montré que chaque élément de \mathbb Q possède un opposé (un inverse pour l'addition) et que l'addition est associative.

(1) Soit x=\frac a b\mathbb Q. Notons y=\frac{-a}{b}

On a x+y=\frac{ab-ab}{b^2}=0. Ainsi y est un opposé de x.

(2) Soient x=\frac a b, y=\frac m n, et z=\frac{s}{t} trois nombres rationnels.

On a d'après les propriétés d'anneaux de \mathbb Z (voir article De \mathbb N  à \mathbb Z

(x+y)+z=\frac{an+mb}{bn}+\frac{s}{t}=\frac{(an+mb)t+s(bn)}{(bn)t}
Donc 
(x+y)+z=\frac{a(nt)+b(mt+sn)}{b(nt)}=x+(y+z)

Ainsi + est associative sur \mathbb Q.

(Q,+) est donc ce que l'on appelle un groupe commutatif (ou abélien) . 


Remarques. 

  • (a) Par commutativité de +, dans un groupe commutative, un inverse à droite et un inverse à gauche sont la même notion : x+y=0\Longleftrightarrow y+x=0.
  • (b) Dans un groupe, chaque élément ne possède qu'un unique inverse pour l'addition. 
    En effet, supposons que x a pour inverses  y et z. Alors, z+(x+y)=(z+x)+y, c'est-à-dire z+0=0+y, ce qui se traduit pas z=y.


Propriété 3. 

On a pour tout entier relatif k non-nul, et pour tout rationnel \frac a b,

\frac{ka}{kb}=\frac{a}{b}


Preuve. 

(ka)b=(kb)a


Propriété 4. 

(\mathbb Q,+,\times) est un anneau commutatif unitaire.


Preuve.  

On sait déjà que (\mathbb Q,+) est un groupe commutatif et que le produit sur \mathbb Q est commutatif.

(1) Tout d'abord, le nombre 1=\frac 1 1 est un élément neutre pour le produit.  

Remarquons pour des raisons similaires au fait que 0 est l'unique élément neutre pour +, qu'il n'y a qu'un seul élément neutre pour \times. En effet si e,e' sont neutres pour \times, on a e'=ee'=e.

Vérifions la neutralité de 1. Soit \frac a b\in \mathbb Q. On a

\frac 1 1\frac{a}{b}=\frac{1\times a}{1\times b}=\frac a b

.

C'était évident car 1 est neutre dans \mathbb Z.


(2) La multiplication est associative dans \mathbb Q grâce à l'associativité de la multiplication dans \mathbb Z


\left( \frac a b \times \frac m n\times\right)\times \frac s t =\frac{am}{bn}\times\frac{s}{t}=\frac{(am)s}{(bn)t}=\frac{a(ms)}{b(nt)}=\frac{a}{b}\times\left(\frac{m}{n}\times \frac{s}{t}\right)


(3) La multiplication est distributive par rapport à l'addition. En effet, si \frac a b,\frac m n, \frac s t sont des rationnels, on a 

\frac a b\times \left(\frac m n + \frac s t\right)=\frac a b\times \frac{mt+ns}{nt}=\frac{amt+ans}{bnt}


D'un autre côté, on a 

\frac a b\times \frac m n +\frac a b\times \frac s t= \frac{am} {bn} +\frac{as} {bt}=\frac{ambt+asbn}{b^2nt}=\frac{amt+asn} {bsn}


On a donc bien \frac a b\times \left(\frac m n + \frac s t\right)=\frac{amt+asn} {bsn}.

(\mathbb Q,+,\times) est donc ce que l'on appelle un anneau.


L'opposé d'un élément x est noté -x


On a -(-x)=x car x+(-x)=0 comme dans tout groupe.


Soustraire un nombre y à un nombre x, c'est ajouter l'opposé de y

à x. On note x-y=x+(-y)


Propriété 6.

Si x,y sont deux rationnels, alors -(x+y)=-x+(-y)=-x-y.


Preuve.

On a (x+y)+(-x+(-y))=x+(y+(-x+(-y))=x+(y+(-y+(-x))

Or y+(-y+(-x)=(y+(-y))+(-x)=-x

d'où

(x+y)+(-x+(-y))=x+(-x)=0



Notations. 

(1) Comme dans \mathbb Z, on omet souvent le symbole \times pour les produits, écrivant xy plutôt que x\times y.

(2) Puisque l'addition et la multiplication y sont associatives, on note pour x,y,z dans \mathbb Q, x+y+z pour désigner indifféremment (x+y)+z ou x+(y+z); respectivement on note xyz pour désigner indistinctement (xy)z ou x(yz).


Quotient et fraction


Propriété 7. 

Si k est un entier relatif, et si \frac a b est un rationnel, on a k\times\frac a b=\frac{ka}{b}.


Preuve.

On a \frac k1\times\frac{a}{b}\frac{ak}{b}.

 


Propriété 8. 

Tout rationnel non-nul \frac a b admet pour unique inverse \frac b a.

0 n'admet pas d'inverse.


Preuve. 

  • On a \frac{a}{b}\times\frac{b}{a}=\frac{ab}{ab}=1

  • Si x admet pour inverses multiplicatifs y et y', alors y'=y'(xy)=(y'x)y=y d'où l'on conclut à l'unicité de l'inverse.

  • Supposons que \frac{a}{b}\times \frac{0}{1}=\frac{1}{1}.

Alors \frac 0{b}=\frac{1}{1} d'où 1b=0\times 1 dans \mathbb Z ce qui est faux.


\mathbb Q est donc ce que l'on appelle un corps (commutatif), c'est-à-dire un anneau (commutatif) dont les éléments non-nuls sont inversibles pour la multiplication.


Si a et b sont des entiers relatifs, le quotient rationnel de a par b est le rationnel \frac a b.


Ainsi dans le cas où b divise a (voir article sur la division euclidienne dans \mathbb Z), il existe un entier relatif k tel que a=kb. On a bien dans ce cas \frac a b =\frac{kb}{b}=\frac{k}{1}=k.

Si s est un nombre rationnel, on peut noter s^{-1} son inverse (pour la multiplication).

Quotients de fractions


Soit r=\frac{a}{b} et s=\frac c d deux rationnels.


Alors on définit \frac{r}{s}=r\times s^{-1}

s^{-1} est l'inverse de s pour \times 


Ainsi \frac{r}{s}=r\times s^{-1}=\frac{a}{b}\times  \frac  d c


On a donc \frac{\frac{r}{s}}{\frac c d}=\frac{a}{b}\times  \frac{d}{c}


En particulier \frac{1}{\frac{a}{b}}=\frac{b}{a}


Ordre sur \mathbb Q


Propriété 9.

  • Si \frac a b = \frac m n\neq 0, alors : 

a et b ont le même signe dans \mathbb Z si et seulement si m et n sont de même signe dans \mathbb Z

  • Si \frac{a}{b}=0, alors a=0 et b est de n'importe quel signe.



Preuve. 

L'égalité des fractions donne an=mb.

D'après la règle des signes pour les produits dans \mathbb Z :

si a et b ont le même signe, comme an et mb ont le même signe, on a nécessairement m et n de même signe. Dans le cas contraire, n et m doivent aussi être de signes opposés car sinon an et mb n'auraient pas le même signe. 


Le fait que le numérateur et le dénominateur aient ou n'aient pas le même signe ne dépend pas du représentant \frac a b choisi.


\frac{a}{b}=\frac 0 1 implique 1a=0b d'où a=0.


On dit que \frac a b est positif si a et b sont de même signe dans \mathbb Z, s'ils sont de signes opposés, on dit que \frac a b est négatif.

Si \frac a b est positif non nul, on dit que \frac a b est strictement positif.

Si \frac a b est négatif non nul, on dit que \frac a b est strictement négatif.


On note \mathbb Q_+ et \mathbb Q_- l'ensemble des rationnels respectivement positifs et l'ensemble des rationnels négatifs.


Un nombre rationnel est donc dans l'un des deux sous-ensembles \mathbb Q_- ou \mathbb Q_+


Remarques.

(1) Le seul nombre entier relatif positif et négatif est 0

(2) D'après la propriété 7, si x est positif, alors -x=(-1)\times x est négatif, et si x est négatif, alors -x est positif. En effet multiplier par -1 change uniquement le signe du numérateur (ou bien du dénominateur...).



On notera x\leq y si x-y\in\mathbb Q_- ou de manière équivalente si y-x\in\mathbb Q_+

On dira alors que x est inférieur (ou égal) à y. On ne mentionne pas nécessairement "ou égal". 

Si x\leq y avec x\neq y, c'est-à-dire x-y\neq 0, alors on dira que x est strictement inférieur à y et on notera x<y.


On note y\geq x si x\leq y et on dit dans ce cas que y est supérieur (ou égal) à x


On note y> x si x< y et on dit dans ce cas que y est strictement  supérieur à x.


Propriété 10. 

Si x,y\in \mathbb Q_+, alors x+y\in \mathbb Q_+.


Preuve. 

Quitte à multiplier le numérateur et le dénominateur de x par -1, on peut écrire x=\frac ab avec a,b positifs. De même on peut écrire y=\frac m n, avec m,n positifs.

Ainsi x+y=\frac{an+mb}{bn} a un numérateur an+mb

 positif et un dénominateur positif (d'après la définition du produit dans \mathbb Z).


\leq est une relation d'ordre totale sur \mathbb Q


Propriété 11.

La relation \leq possède les qualités suivantes :

(1) Réflexivité : pour tout rationnel x, on a x\leq x.

(2) Transitivité : si x\leq y et y\leq z, alors x\leq z

(3) Antisymétrie : si x\leq y et y\leq x, alors x=y

(4) Totalité : pour tout couple de rationnels (x,y), on a x\leq y ou y\leq x.


Preuve.

(1) x-x=0 est positif.

(2) x-z=(x-y)+(y-z) en utilisant les propriétés d'associativité de l'addition. Comme x-y et y-z sont positifs, la propriété 10 nous permet de conclure.

(3) Si y-x est positif, son opposé -(y-x)=x-y est positif. Le seul nombre rationnel à la fois positif et négatif étant 0, on en déduit que y-x=0 puis que y=x.

(4) x-y est un élément de \mathbb Q_- ou de \mathbb Q_+.


Propriété 12. 

Dans \mathbb Q, on a : 

(1) x\leq y \Longrightarrow x+z \leq y+z

(2.a) si t\geq 0, alors  x\leq y \Longrightarrow tx \leq ty

(2.b) si t\leq 0, alors  x\leq y \Longrightarrow tx \geq ty


Preuve.

(1) En utilisant l'associativité et la commutativité de l'addition, on a y+z-(x+z)=y-x\geq 0 d'où x+z\leq y+z.

(2.a) On note t=\frac u v, x=\frac a b et y=\frac m n. Supposons x\leq y, c'est-à-dire \frac{an-bm}{bn}\geq 0. On a tx-ty=\frac{u(an-bm)}{v(bn)}. Comme u et v sont de même signe, le signe de cette dernière fraction est le même que celui de \frac{an-bm}{bn}, c'est-à-dire positif.

(2.b) Avec des notations identiques, ici comme u et v sont de signes opposés, le signe de \frac{an-bm}{bn} devient négatif.


Propriété 13. (\mathbb Q est archimédien)

Pour tous rationnels x,y tels que 0<x<y, il existe k\in \mathbb Z tel que kx>y.


Démonstration.

On note x=\frac a b, et y=\frac m n avec a,b,m,n entiers relatifs non nuls. Quitte à multiplier ces entiers par (-1), on peut supposer qu'ils sont tous strictement positifs.

On a x=\frac{an}{bn} et y=\frac{bm}{bn}. Soit k un entiers strictement positif. 

On a kx>y si \frac{kan-bm}{bn}>0. Comme bn>0, il suffit pour cela que kan>bm

Notons q le quotient de la division euclidienne de bm par an, et r son reste. On a bm=qan+r avec 0\leq r<an

Prenons maintenant k=q+1. Alors kan=(q+1)an=qan+an>qan+r=bm.

On dit que (\mathbb Q,+,\times,\leq)$ est un corps archimédien.


Propriété 14. 

Pour tous x et y dans \mathbb Q, tels que x<y, il existe z\in Q tel que x<z<y.


Preuve. 

Tout d'abord x<y implique \frac 1 2 x < \frac 1 2 y car \frac 1 2>0.

Prenons z=\frac 1 2 (x+y)=\frac 1 2 x + \frac 1 2y

On a 

x=\frac{x}{2}+\frac x 2<\frac{x}{2}+\frac y 2<\frac y 2 + \frac y 2 =y


Et ensuite

Dans les articles suivants j'aimerais, à partir de \mathbb Q construire l'ensemble \mathbb R des nombres réels. 


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