Spécialité Maths (1ere/Terminale). Exercice 3 - solution

Voici la solution de l'exerice du dimanche N° 3. 

Des versions téléchargebles (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.  

Thème. Fonctions, équations du second degré.

Niveau 1ère/Teminale de la spécialité mathématique.

Exercice 3.

La courbe de la fonction $x\mapsto x^3-x$ tracée dans un repère orthonormé, a-t-elle des tangentes parallèles entre elles ? A-t-elle des tangentes perpendiculaires entre elles ?

Solution

Tangentes parallèles

La fonction  $f:x\mapsto x^3-x$ est définie sur $\mathbb R$ où elle y est dérivable en tant que fonction polynomiale. Pour cette raison, elle admet des tangente en tout $t\in \mathbb R$.

Deux tangentes en $a$ et $b$ notées respectivement $\mathcal T_a$ et $\mathcal T_b$ sont parralèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur, c'est-à-dire si et seulement si $f'(a)=f'(b)$.

Comme $f'(x)=3x^2-1$ pour tout $x\in\mathbb R$, $\mathcal T_a$ et $\mathcal T_b$ sont parralèles si et seulement si $3a^2-1=3b^2-1$ ou encore si et seulement si $a^2=b^2$.

On peut en déduire que $\mathcal T_a$ et $\mathcal T_b$ sont parralèles si et seulement si $a=\pm b$.

Donc pour tout réel $a$ non nul, $\mathcal T_a$ est parallèle à la tangente distincte $\mathcal T_{-a}$.

Comme $0$ est le seul réel $a$ tel que $a=-a$, $\mathcal T_0$ est la seule tangente qui n'est pas parallèle à une autre tangente.

Tangentes perpendiculaires

Remarquons pour commencer qu'un vecteur directeur d'une droite $\mathcal D$ d'équation cartésienne $y=mx+p$ est $\overrightarrow u\ \binom 1 m$. En effet il suffit de prendre $\overrightarrow u=\overrightarrow{AB}$ où $A$ et $B$ sont les points de $\mathcal D$ d'abscisses respectives $0$ et $1$ : $A\ (0;p)$ et $B\ (1;m+p)$ (d'où $\overrightarrow AB\ \binom 1 m$.

Deux droites $\mathcal D$ et $\mathcal D'$ de coefficient directueurs $m$ et $m'$ non nuls, admettent pour vecteurs directeurs $\overrightarrow u\ \binom 1 m$ et $\overrightarrow {u'}\ \binom 1 {m'}$ sont donc perpendiculaires si et seulement si le produit scalaire $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u'}=1\times 1 +mm'=0$, ce qui est équivalent à $mm'=-1$.

Soient $a$ et $b$ deux réels. Comme par définition aucune tangente n'est verticale, aucune tangente horizontale (de coefficient directeur 0) ne peut être perpendiculaire à une autre tangente, on ne s'intéresse qu'aux tangente dont les coefficients directeurs sont non nuls.

Ici comme $f'(x)=3x^2-1$, une tangente est horizontale si et seulement si $3a^2=1$, c'est-à-dire si et seulement si $a=\pm\sqrt{\frac 1 3}=\pm \frac 1 {\sqrt 3}$.

On suppose dans la suite que $a$ et $b$ sont distincts de $\pm\sqrt{\frac 1 3}$. Les tangentes $T_a$ et $T_b$ de coefficient directeurs respectifs $f'(a)=3a^2-1$ et  $f'(b)=3b^2-1$ non nuls sont perpendiculaires si et seulement si $(3a^2-1)(3b^2-1)=-1$.

Soit $a\neq \pm\sqrt{\frac 1 3}$. Posons pour tout réel $t$, $g_a(t)=(3a^2-1)(3t^2-1)$.

On a pour tout réel $t$, $$g_a(t)=9a^2t^2-3t^2-3a^2+1=\left(9a^2-3\right)t^2+1-3a^2$$

Pour $a$ donné, le nombre de solution de l'équation $g_a(t)=-1$ correspond donc au nombre de tangentes perpendiculaires à $\mathcal T_a$.

Supposons $t\not\in \left\{- \frac 1 {\sqrt 3};\frac 1 {\sqrt 3} \right\}$.

Alors $9a^2-3\neq 0$ et

$$g_a(t)=-1\Longleftrightarrow \left(9a^2-3\right)t^2+2-3a^2=0 \Longleftrightarrow t^2=\frac{3a^2-2}{9a^2-3}$$

Cette équation a une (des) solution(s) si et seulement si $\frac{3a^2-2}{9a^2-3} \geq 0$.

Etudions le signe de cette expression en fonction de $a$.

On peut en tirer les conclusions suivantes :

• Si $a\in \left\{- {\sqrt {\frac 2 3}};{\sqrt {\frac 2 3}} \right\}$, cette équation a une solution $0$.
•   Si $a<- {\sqrt {\frac 2 3}}$  ou $a> {\sqrt {\frac 2 3}}$ ou $-\frac 1 {\sqrt 3}< a<\frac 1 {\sqrt 3}$, cette équation a deux solutions $\pm\sqrt{\frac{3a^2-2}{9a^2-3}}$
•  Sinon l'équation n'a pas de solutions.

 

Pour résumer les différents cas possibles et pour répondre au problème, voici un tableau donnant pour un réel $a$ donné, le nombre de tangentes $n_a$ à la courbe de $x\mapsto x^3-x$ perpendiculaires à $\mathcal{T}_a$ :

Illustrations des différents cas

Cas où $a<- {\sqrt {\frac 2 3}}$  ou $a> {\sqrt {\frac 2 3}}$ ou $-\frac 1 {\sqrt 3}< a<\frac 1 {\sqrt 3}$

Cas où $- {\sqrt {\frac 2 3}}<a<-\frac 1 {\sqrt 3}$  ou $\frac 1 {\sqrt 3}<a< {\sqrt {\frac 2 3}}$

Cas où  $a=-\frac 1 {\sqrt 3}$  ou $a=\frac 1 {\sqrt 3}$

Cas où $a=- {\sqrt {\frac 2 3}}$  ou $a= {\sqrt {\frac 2 3}}$

Remarque. 

Dans les cas où $a=\pm \sqrt{\frac 2 3}$,  $g_a(t)=-1\Longleftrightarrow t^2=0  \Longleftrightarrow t=0$. Donc seule la tangente $\mathcal T_0$ est perpendiculaire à $\mathcal T_a$.

Versions téléchargeables

Enoncé

• version pdf 
• version source tex

Solution

• pdf
• source code tex

Et ensuite

Exercice suivant (parution six jours après cet article)