Spécialité Maths - (Première/Terminale). Exercice 4 - solution

 Voici un exercice niveau 1ère/Teminale de la spécialité mathématique.

Des versions téléchargebles (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.  

Thème. Suites, suites géométriques.

Niveau 1ère/Teminale de la spécialité mathématique.

Exercice 4.

Le but de cet exercice est de trouver le terme général de la suite

$$\left\{\begin{array}{rclr} u_0&=&2 \\ u_{n+1}&=&5u_n-3\times 2^n & (n\in\mathbb N) \\  \end{array}  \right. $$

 

1.   La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? géométrique ?
2.  Soit $(t_n)$ une suite telle que $t_n=k2^n$, où $k$ est un nombre réel.
   (2.a) Déterminer la valeur de $k$ pour que pour tout entier naturel $n$ $t_{n+1}=5t_n-3\times 2^n$. On pose $(w_n)$ la suite définie pour tout $n\in\mathbb N$ par $w_n=u_n-t_n$.
   (2.b) Quelle est la nature de $(w_n) $ ?  
3. En déduire le terme général de $(u_n)$.
   Vérifier la cohérence du résultat obtenu.

 

La solution

 

 1. On peut commencer par calculer les premiers termes de la suite $(u_n)$.

 On a

•   $u_1=5u_0-3\times 2^{0}=5\times 2 - 3=7 $
•  $u_2=5u_1-3\times 2^1=5\times 7 -3\times 2 = 29 $

 

 On a $u_1-u_0= 7-2=5$ et $u_2-u_1=29-7=22 $ donc $(u_n)$ n'est pas arithmétique.

 On a $\frac{u_1}{u_0}=\frac{5}{2}$ et $\frac{u_2}{u_1}=\frac{29}{7}$ donc $(u_n)$ n'est pas géométrique ($\frac 5 2 \neq \frac {29}{7} $ puisque $2\times 29 \neq 5\times 7 $).

 

2.(a). Soit $n\in \mathbb N$. On a

 $$t_{n+1}=5t_n-3\times 2^n\Longleftrightarrow k\times 2^{n+1}=5k\times 2^n -3\times 2^n \Longleftrightarrow 2k=5k-3 \Longleftrightarrow 3=3k \Longleftrightarrow k=1 $$

 Ainsi la suite  $(t_n)$ définie par $t_n=2^n $ vérifie pour tout $n$ : $t_{n+1}=5t_n-3\times 2^n $.

2.(b).On pose  pour tout $n\in\mathbb N$, $w_n=u_n-t_n=u_n-2^n$.

•  $w_0=u_0-2^0=2-1=1 $
•  $w_1=u_1-2^1=7-2=5 $
•  $w_2=u_2-2^2=29-4=25$

Il semblerait que $(w_n)$ soit une suite géométrique de raison $5$.

Exprimons pour un entier naturel $n$ quelconque $w_{n+1}$ en fonction de $w_n$ :

$$w_{n+1}=u_{n+1}-t_{n+1}=5u_n-3\times 2^n-(5t_n-3\times 2^n) =5(u_n-t_n)=5w_n$$

On a bien une suite géométrique $(w_n)$ de raison $5$ et de terme initial $w_0=1$.

3. D'après la question précédente, pour tout entier naturel $n$, $w_n=5^n$.

Comme pour tout entier naturel $n$, on a $w_n=u_n-t_n $, on en déduit que $w_n+t_n=u_n $.

Ainsi pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=5^n+2^n$.

D'après cette formule : $u_0=1+1=2$, $u_1=5+2=7$, $u_2=25+4=29 $ ce qui correspond bien aux calculs déjà effectués.

Versions téléchargeables

L'énoncé

• version pdf 
• version source tex

La solution

• version pdf
• version source tex

 

D'autres exercices

Je compte publier chaque dimanche un nouvel exercice niveau Première ou Terminale de la spécialité maths.

En attendant, voici la page regroupant tous les exercices du dimanche.

Spécialité Maths - (Première/Terminale). Exercice 4

 Voici un exercice niveau 1ère/Teminale de la spécialité mathématique.

Des versions téléchargebles (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.  

Thème. Suites, suites géométriques.

Niveau 1ère/Teminale de la spécialité mathématique.

Exercice 4.

Le but de cet exercice est de trouver le terme général de la suite

$$\left\{\begin{array}{rclr} u_0&=&2 \\ u_{n+1}&=&5u_n-3\times 2^n & (n\in\mathbb N) \\  \end{array}  \right. $$

 

1.   La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? géométrique ?
2.  Soit $(t_n)$ une suite telle que $t_n=k2^n$, où $k$ est un nombre réel.
   (2.a) Déterminer la valeur de $k$ pour que pour tout entier naturel $n$ $$t_{n+1}=5t_n-3\times 2^n$. On pose $(w_n)$ la suite définie pour tout $n\in\mathbb N$ par $w_n=u_n-t_n$.
   (2.b) Quelle est la nature de $(w_n)$ ?  
3. En déduire le terme général de $(u_n)$.
   Vérifier la cohérence du résultat obtenu.

 

Indication. Vous pouvez lire cet article.

Versions téléchargeables

• version pdf 
• version source tex

La solution

La solution sera accessible un jour après publication de cet article.

D'autres exercices

Je compte publier chaque dimanche un nouvel exercice niveau Première ou Terminale de la spécialité maths.

En attendant, voici la page regroupant tous les exercices du dimanche.

Spécialité Maths (1ere/Terminale). Exercice 3 - solution

Voici la solution de l'exerice du dimanche N° 3. 

Des versions téléchargebles (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.  

Thème. Fonctions, équations du second degré.

Niveau 1ère/Teminale de la spécialité mathématique.

Exercice 3.

La courbe de la fonction $x\mapsto x^3-x$ tracée dans un repère orthonormé, a-t-elle des tangentes parallèles entre elles ? A-t-elle des tangentes perpendiculaires entre elles ?

Solution

Tangentes parallèles

La fonction  $f:x\mapsto x^3-x$ est définie sur $\mathbb R$ où elle y est dérivable en tant que fonction polynomiale. Pour cette raison, elle admet des tangente en tout $t\in \mathbb R$.

Deux tangentes en $a$ et $b$ notées respectivement $\mathcal T_a$ et $\mathcal T_b$ sont parralèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur, c'est-à-dire si et seulement si $f'(a)=f'(b)$.

Comme $f'(x)=3x^2-1$ pour tout $x\in\mathbb R$, $\mathcal T_a$ et $\mathcal T_b$ sont parralèles si et seulement si $3a^2-1=3b^2-1 $ ou encore si et seulement si $a^2=b^2$.

On peut en déduire que $\mathcal T_a$ et $\mathcal T_b$ sont parralèles si et seulement si $a=\pm b$.

Donc pour tout réel $a$ non nul, $\mathcal T_a$ est parallèle à la tangente distincte $\mathcal T_{-a}$.

Comme $0$ est le seul réel $a$ tel que $a=-a$, $\mathcal T_0$ est la seule tangente qui n'est pas parallèle à une autre tangente.

Tangentes perpendiculaires

Remarquons pour commencer qu'un vecteur directeur d'une droite $\mathcal D$ d'équation cartésienne $y=mx+p$ est $\overrightarrow u\ \binom 1 m$. En effet il suffit de prendre $\overrightarrow u=\overrightarrow{AB}$ où $A$ et $B$ sont les points de $\mathcal D$ d'abscisses respectives $0$ et $1$ : $A\ (0;p)$ et $B\ (1;m+p)$ (d'où $\overrightarrow AB\ \binom 1 m $.

Deux droites $\mathcal D$ et $\mathcal D'$ de coefficient directueurs $m$ et $m'$ non nuls, admettent pour vecteurs directeurs $\overrightarrow u\ \binom 1 m$ et $\overrightarrow {u'}\ \binom 1 {m'}$ sont donc perpendiculaires si et seulement si le produit scalaire $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u'}=1\times 1 +mm'=0 $, ce qui est équivalent à $mm'=-1$.

Soient $a$ et $b$ deux réels. Comme par définition aucune tangente n'est verticale, aucune tangente horizontale (de coefficient directeur 0) ne peut être perpendiculaire à une autre tangente, on ne s'intéresse qu'aux tangente dont les coefficients directeurs sont non nuls.

Ici comme $f'(x)=3x^2-1$, une tangente est horizontale si et seulement si $3a^2=1$, c'est-à-dire si et seulement si $a=\pm\sqrt{\frac 1 3}=\pm \frac 1 {\sqrt 3}$.

On suppose dans la suite que $a$ et $b$ sont distincts de $\pm\sqrt{\frac 1 3}$. Les tangentes $T_a$ et $T_b$ de coefficient directeurs respectifs $f'(a)=3a^2-1$ et  $f'(b)=3b^2-1$ non nuls sont perpendiculaires si et seulement si $(3a^2-1)(3b^2-1)=-1$.

Soit $a\neq \pm\sqrt{\frac 1 3}$. Posons pour tout réel $t$, $g_a(t)=(3a^2-1)(3t^2-1) $.

On a pour tout réel $t$, $$g_a(t)=9a^2t^2-3t^2-3a^2+1=\left(9a^2-3\right)t^2+1-3a^2$$

Pour $a$ donné, le nombre de solution de l'équation $g_a(t)=-1 $ correspond donc au nombre de tangentes perpendiculaires à $\mathcal T_a $.

Supposons $t\not\in \left\{- \frac 1 {\sqrt 3};\frac 1 {\sqrt 3} \right\}$.

Alors $9a^2-3\neq 0$ et

$$g_a(t)=-1\Longleftrightarrow \left(9a^2-3\right)t^2+2-3a^2=0 \Longleftrightarrow t^2=\frac{3a^2-2}{9a^2-3} $$

Cette équation a une (des) solution(s) si et seulement si $\frac{3a^2-2}{9a^2-3} \geq 0 $.

Etudions le signe de cette expression en fonction de $a$.

On peut en tirer les conclusions suivantes :

• Si $a\in \left\{- {\sqrt {\frac 2 3}};{\sqrt {\frac 2 3}} \right\} $, cette équation a une solution $0$.
•   Si $a<- {\sqrt {\frac 2 3}} $  ou $a> {\sqrt {\frac 2 3}} $ ou $-\frac 1 {\sqrt 3}< a<\frac 1 {\sqrt 3} $, cette équation a deux solutions $\pm\sqrt{\frac{3a^2-2}{9a^2-3}} $
•  Sinon l'équation n'a pas de solutions.

 

Pour résumer les différents cas possibles et pour répondre au problème, voici un tableau donnant pour un réel $a$ donné, le nombre de tangentes $n_a $ à la courbe de $x\mapsto x^3-x $ perpendiculaires à $\mathcal{T}_a $ :

Illustrations des différents cas

Cas où $a<- {\sqrt {\frac 2 3}} $  ou $a> {\sqrt {\frac 2 3}} $ ou $-\frac 1 {\sqrt 3}< a<\frac 1 {\sqrt 3} $

Cas où $- {\sqrt {\frac 2 3}}<a<-\frac 1 {\sqrt 3} $  ou $\frac 1 {\sqrt 3}<a< {\sqrt {\frac 2 3}} $

Cas où  $a=-\frac 1 {\sqrt 3} $  ou $a=\frac 1 {\sqrt 3}$

Cas où $a=- {\sqrt {\frac 2 3}}$  ou $a= {\sqrt {\frac 2 3}} $

Remarque. 

Dans les cas où $a=\pm \sqrt{\frac 2 3}$,  $g_a(t)=-1\Longleftrightarrow t^2=0  \Longleftrightarrow t=0$. Donc seule la tangente $\mathcal T_0 $ est perpendiculaire à $\mathcal T_a $.

Versions téléchargeables

Enoncé

• version pdf 
• version source tex

Solution

• pdf
• source code tex

Et ensuite

Exercice suivant (parution six jours après cet article)

Spécialité Maths (1ere/Terminale). Exercice 3

Voici un exercice niveau 1ère/Teminale de la spécialité mathématique.

Des versions téléchargebles (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.  

Thème. Fonctions, équations du second degré.

Niveau 1ère/Teminale de la spécialité mathématique.

Exercice 3.

La courbe de la fonction $x\mapsto x^3-x$ tracée dans un repère orthonormé, a-t-elle des tangentes parallèles entre elles ? A-t-elle des tangentes perpendiculaires entre elles ?

Versions téléchargeables

• version pdf 
• version source tex

La solution

La solution sera accessible un jour après publication de cet article.

D'autres exercices

Je compte publier chaque dimanche un nouvel exercice niveau Première ou Terminale de la spécialité maths.

En attendant, voici la page regroupant tous les exercices du dimanche.

Spécialité Maths (Terminale). Exercice 2

Voici un exercice niveau 1ère/Teminale de la spécialité mathématique.

Des versions téléchargebles (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.  

Thème. Suites, suites géométriques.

Exercice 2.

Ecrire le nombre suivant sous forme de fraction

$$S=0,2024\ 2024\ 2024\ \ldots\ldots  $$

Besoin d'une indication? Cet article peut vous aider.

Versions téléchargeables

• version pdf 
• version source tex

La solution

La solution sera accessible un jour après publication de cet article.

D'autres exercices

Je compte publier chaque dimanche un nouvel exercice niveau Première ou Terminale de la spécialité maths.

En attendant, je vous propose cet article sur le même sujet.