Partie entière d'un nombre réel

 Dans cet article, on suppose connus :

• Les nombres entiers relatifs
• Les nombres réels
• la notion de maximum et de minimum d'un ensemble

Pour un nombre réel $x$, on  y définit sa partie entière inférieure, plus communément appelée sa partie entière. Cette définition nécessite d'avoir du sens, pour cela quelques propriétés seront nécessaires.

De façon analogue, on définit la partie entière supérieure d'un nombre.

Enfin on définit la partie fractionnaire d'un nombre. 

Minimum et maximum d'un sous-ensemble de $\mathbb Z$

Un maximum d'un ensemble $E\subset \mathbb Z$ s'il existe est un nombre $M\in E$ tel que $\forall k\in E : k\leq M$. Dans ce cas, on note $M=\max E$.

Un minimum d'un ensemble $E\subset \mathbb Z$ s'il existe est un nombre $n\in E$ tel que $\forall k\in E: k\geq m$.

Propriété 0.

Un minimum ou un maximum d'un ensemble $E\subset \mathbb Z$, s'il existe, est unique.

Démonstration. 

On montre dans [N5] q'un minimum d'un sous-ensemble de $\mathbb N$ s'il existe, est unique. Il s'agit en fait du plus grand des minorants de cet ensemble. En refaisant la même démonstration dans $\mathbb Z$, on obtient le même résultat.

De même, on montre l'unicité du maximum.  

On peut donc parler du maximum (éventuel) d'un ensemble $E$ inclus dans $\mathbb Z$.

Propriété 1.

$M$ est le maximum d'un ensemble $E\subset \mathbb Z$ si et seulement si $-M$ est un minimum de l'ensemble $-E$ dont les éléments sont les opposés des éléments de $E$.

Preuve.

Tout d'abord,  $M\in E $ si et seulement si $-M \in -E$.

Ensuite soit $M\in E$. On a 

$$M = \max E \Longleftrightarrow \forall k \in E : k\leq M \Longleftrightarrow \forall k \in E : -k \geq -M $$

Or si $k\in \mathbb Z$, $k\in E \Longleftrightarrow -k\in -E$, donc 

$$M = \max E \Longleftrightarrow \forall -k \in -E : -k \geq -M  \Longleftrightarrow \forall \ell \in -E : \ell \geq -M \Longleftrightarrow \ell = \min(-E)$$ 

On dit qu'une partie $E\subset \mathbb Z$ est majorée, s'il existe un entier $N\in \mathbb Z$, tel que $\forall n \in E : n\leq N$. $N$ est alors un majorant de $E$.

On dit de même qu'une partie $E\subset \mathbb Z$ est minorée, s'il existe un entier $p\in \mathbb Z$, tel que $\forall n \in E : n\geq p$. $p$ est alors un majorant de $E$.

S'ils existent le minimum et le maximum d'une ensemble sont respectivement un minorant et un majorant de $E$.

Propriété 2.

• (1) Toute partie $E\subset \mathbb Z$ minorée de $\mathbb Z$ admet un minimum.
• (2) Toute partie $E\subset \mathbb Z$ majorée de $\mathbb Z$ admet un maximum.

Preuve.

  (1) Supposons qu'il existe $p\in \mathbb Z$ tel que pour tout $n\in E$, $p\leq n$.      Si $E\subset \mathbb Z$, alors d'après la propriété 3 de [N5], $E$ admet un minimum. 

            Sinon on note $E=E^{\star}_{-} \cup E_+$ où

•  $E^{\star}_{-}=E\cap(-\mathbb N^\star)$ (les éléments négatifs de $E$)
•  $E_+=E\cap \mathbb N$ (les éléments positifs de $E$).

Tout élément de $E^\star_-$ est inférieur à tout élément de $E_+$. De plus $E^\star_-\subset -E_{-p}$ (où $E_{-p}=\left\{n\in \mathbb Z | n\leq x\right\}$).

Clairement $-E_{-p}$ contient $p$ éléments (car  $-E_{-p}$ est en bijection avec $E_p$ via $x\mapsto -x$, et on sait que $E_p$ est de cardinal $p$). On en déduit que le cardinal de $E^\star_-$ est fini et inférieur ou égal à $p$. Ainsi $E^\star_-$ possède un (unique) minimum $m$. 

(2) $-E$ est minorée par $-M$ où $M$ est un majorant de $E$. Donc d'après le cas (1), $-E$ possède un minimum $a$. On en déduit que $-a$ est le maximum de $E$.

Partie entière (inférieure) d'un réel

Propriété 3.

Soit $x\in\mathbb R$. On note 

$$ E_{x}=\left\{n\in \mathbb Z | n\leq x\right\}$$

Alors $E_x$ admet un maximum.

Preuve.

Comme $x$ est un majorant de $E_x$, on en déduit que $E_x$ admet un maximum.

Fonction partie entière

Ce qui précède nous permet de définir la fonction partie entière. 

Soit $E$ la fonction  définie par 

$$E(x)=\max\left(\left\{n\in \mathbb Z | n \leq x\right\} \right)$$

Cette fonction est aussi appelée $\verb|floor|$. 

On note généralement $\lfloor x \rfloor=E(x)$.

La  fonction partie entière est représentée ci-dessous.

Partie entière supérieure

De la même fonction que l'on a défini la partie entière, on va définir la partie entière supérieure, aussi appelée ceiling. 

D'après la propriété 2.(2)

Propriété 4.

Pour tout $x\in\mathbb R$, l'ensemble 

$$F_x=\left\{n\in\mathbb Z | x\leq n \right\} $$

possède un minimum.

On note ce minimum $\lceil x \rceil$, c'est la partie entière supérieure de $x$.

Preuve. 

$F_x$ est minorée par $x$.

 

Partie fractionnaire

La partie fractionnaire d'un nombre $x$ est définie par $x-\lfloor x \rfloor$. 

On note 

$$\left\{x \right\}=x-[x] $$

Ci-dessous la fonction  partie fractionnaire.