Where is my math ?: Spécialité Maths - (Terminale). Exercice 6

dimanche 14 avril 2024

Voici un exercice niveau 1ère de la spécialité mathématique.

Des versions téléchargeables (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.

Exercice 6.

Trouver une fonction $p$ polynomiale de dégré 2, $p(x)=ax^2+bx+c $ telle que
$$(1)\ \ \ \ p'=2p+x^2-x $$
En déduire les solutions de l'équation différentielle
$$(2)\ \ \ \ y'=2y+x^2-x $$

Soit $p$ une fonction de la forme $p(x)=ax^2+bx+c$. $p$ est polynomiale et sa dérivée $p'$ est donnée par $p'(x)=2ax+b $.
$p$ est solution de $(1)$ si et seulement si pour tout $x\in\mathbb R$, $$2ax+b=2(ax^2+bx+c)+x^2-x $$
ce qui équivaut à pour tout $x\in\mathbb R$, $$0=(2a+1)x^2+(b-2a-1)x+(c-b)$$
Pour que $p$ soit solution, il suffit que la fonction polynomiale $x\longmapsto (2a+1)x^2+(b-2a-1)x+(c-b) $ soit nulle.
Ainsi il suffit que $a,b,c$ soient solution du système
$$(S)\ \ \ \ \left\{\begin{array}{rcl} 2a+1&=&0 \\ b-2a-1&=&0\\ c-b&=&\\ \end{array} \right. $$ Résolvons $(S)$.
$$(S) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl} a&=&-\frac 1 2\\ b&=&0\\ c&=&0\\ \end{array} \right. $$
Ainsi $p$ définie par $p(x)=-\frac 1 2x^2 $ convient.
On va maintenant résoudre $(2)$. Remarquons d'abord que $ p'=2p+x^2-x$ implique $p'-2p=x^2-x$.
$$\begin{array}{rclr} y'=2y+x^2-x & \Leftrightarrow & y'=2y+p'-2p \\ & \Leftrightarrow & y'-p'=2y-2p & \\ & \Leftrightarrow & (y-p)'=2(y-p)& \\ &\Leftrightarrow & y-p=C\mathrm{e}^{2x} & \\ &\Leftrightarrow & y=C\mathrm{e}^{2x}+p& \textrm{avec } C\in\mathbb R \\ \end{array} $$
Ainsi les soltuions de l'équations sont de la forme $y=C\mathrm{e}^{2x}-\frac 1 2 x^2 $.