Voici la solution de l'exercice du dimanche N°11.
Niveau terminale de la spécialité mathématique.
Des versions téléchargeables (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.
Thèmes. Equations différentielles, fonctions trigonométriques
Niveau Terminale de la spécialité mathématiques.
Exercice 11.
On veut trouver les solutions de l'équation différentielle
$$(E)\ \ \ \ \ \ \ y'=3y+\cos(x) $$
- Trouver des réels $a$ et $b$ de sorte que la fonction $f$ définie sur $\mathbb R $ par $f(x)=a\cos(x)+b\sin(x)$ soit une solution particulière de $(E)$
- Résoudre $(E)$.
La solution
Question 1.
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb R $ par $f(x)=a\cos(x)+b\sin(x)$, avec $a$ et $b$ réels.
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb R $ par $f(x)=a\cos(x)+b\sin(x)$, avec $a$ et $b$ réels.
$f$ est dérivable comme combinaison linéaire de fonctions dérivables $\cos $ et $\sin $. Puisque $\cos'=-\sin $ et $\sin'=\cos $, on a
$$f'(x)=-a\sin(x)+b\cos(x) $$
Ainsi $f$ est solution de $(E)$ si $a$ et $b$ vérifient pour tout $x$ réel,
$$-a\sin(x)+b\cos(x)=3a\cos(x)+3b\sin(x) +\cos(x)$$
ou encore
$$b\cos(x)+(-a)\sin(x)=(3a+1)\cos(x)+3b\sin(x) $$
Il suffit pour cela que $a$ et $b$ soient solutions du système
$$(S)\ \ \ \left\{\begin{array}{rcl} b&=&3a+1\\ -a&=&3b \\ \end{array} \right. $$
Résolvons $(S)$ pour trouver une solution en utilisant des combinaisons linéaires des lignes $L_1$ et $L_2$.
$$(S)\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rclr} -3a+b&=&1&(L_1)\\ -a-3b&=&0&(L_2) \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rclr} -9a+3b&=&3&(3L_1\rightarrow L_1)\\ -a-3b&=&0&(L_2) \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rclr} -10a&=&3&(L_1+L_2\rightarrow L_1)\\ -a-3b&=&0&(L_2) \\ \end{array} \right. $$
On a finalement une solution unique de $(S)$
$$(S)\ \ \ \ \left\{\begin{array}{rcl} a&=&-\frac{3}{10}\\ -\left(-\frac{3}{10} \right)-3b&=&0 \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl} a&=&-\frac{3}{10}\\ \frac{3}{10}&=&3b \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl} a&=&-\frac{3}{10}\\ \frac{1}{10}&=&b\\ \end{array} \right. $$
Ainsi $(a;b)=\left(-\frac 3{10};\frac 1{10} \right) $ est la seule solution de $(S)$.
Posons $f(x)=-\frac 3{10}\cos(x)+\frac 1{10}\sin(x) $ et vérifions que $f'=3f+\cos(x) $.
On a
$$f'(x)=\frac 3{10}\sin(x)+\frac 1{10}\cos(x)$$
et
$$3f(x)+\cos(x)=-\frac 9{10}\cos(x)+\frac 3{10}\sin(x)+\cos(x)=\frac 1{10}\cos(x)+\frac 3{10}\sin(x)=f'(x) $$
Donc $f$ ainsi définie est bien une solution particulière de $(E)$.
Question 2.
Résoudre $(E)$.
Résoudre $(E)$.
Comme $f$ est solution de $(E)$, on a $f'=3f+\cos(x)$, d'où $\cos(x)=f'-3f$.
On considère l'équation
$$(E_h)\ \ \ \ y'=3y $$
appelée équation homogène associée à $(E)$.
Résolvons $(E)$.
$$\begin{array}{rclcrcl} y & \textrm{est solution de} & (E) &\Longleftrightarrow & y'&=&3y+\cos(x) \\ & & &\Longleftrightarrow & y'-3y&=&\cos(x) \\ & & &\Longleftrightarrow & y'-3y&=&f'-3f \\ & & &\Longleftrightarrow & y'-f'&=&3y-3f \\ & & &\Longleftrightarrow & (y-f)' &=&3(y-f) \\ & & &\Longleftrightarrow & (y-f) & \textrm{est solution de} & (E_h)\\ \end{array}$$
Or les solutions de $(E_h)$ sont les fonctions $x\longmapsto C\mathrm{e}^{3x} $ où $C\in\mathbb R$.
Autrement dit
$$\begin{array}{rclcrclr} y & \textrm{est solution de} & (E) &\Longleftrightarrow & y-f&=&C\mathrm{e}^{3x} & (C\in\mathbb R) \\ & & &\Longleftrightarrow & y&=&C\mathrm{e}^{3x}+f & (C\in\mathbb R) \\ \end{array}$$
Conclusion.
Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $y=C\mathrm{e}^{3x}-\frac 3{10}\cos(x)+\frac 1{10}\sin(x) $, avec $C\in \mathbb R$.
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