Spécialité Maths - (Terminale). Exercice 7 - solution

Voici un exercice niveau Terminale de la spécialité mathématique.

Des versions téléchargeables (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.  

Thème. Suites, suites géométriques, limites.

Niveau Terminale de la spécialité mathématique.

Exercice 7.

On part de rien (étape $0$) et on ajoute un carré (étape $1$).

Ensuite et indéfiniment :

• On retire à la figure un carré dont les côtés mesurent la moitié du dernier carré ajouté
• On ajoute à la figure un carré dont les côtés mesurent la moitié du dernier carré retiré

Que peut-on dire de l'aire de la figure au bout d'une infinité d'étapes ?

La solution 

Notons

 

•  $c$ la longueur du côté du carré de départ
•  $u_n$ l'aire de la figure à l'étape $n$ (pour $n\geq 0$)
•  $a_n$ l'aire du carré ajouté ou retiré à l'étape $n$ (pour $n\geq 0$)

 

Commençons par remarquer que si l'on divise par deux les côtés d'une carré, l'aire obtenue pour le petit carré vaut $\frac 1 4$ de celle du carré initial.

On a

 

•  $a_0=u_0=c^2$
•  pour tout $n\geq 0$, $a_{n+1}=\frac{a_n}{4}$
•  pour tout $n\geq 0$, $u_{n+1}=\left\{\begin{array}{rcl} u_n-a_{n+1}&\textrm{si}&n \textrm{ est pair}\\ u_n+a_{n+1}&\textrm{si}&n \textrm{ est impair}\\ \end{array}  \right.$. Donc $$u_{n+1}=u_n+(-1)^{n+1}a_{n+1}=u_n+b_{n+1}$$ avec $b_n=(-1)^{n}a_{n+1}$.

 

La suite $(a_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac 1 4$.

La suite $(b_n)$ est une suite géométrique de raison $-\frac 1 4$ car $$b_{n+1}=(-1)^{n+1}a_{n+1}=(-1)\cdot (-1)^n\cdot \frac 1 4\cdot a_n=-\frac 1 4\left((-1)^na_n \right)=-\frac 1 4 b_n$$

On a pour tout $n\geq 0$,

$$\mathcal P_n\ :\ \ \ \ \ u_{n}=b_0+\ldots+b_n=\sum_{j=0}^n b_j$$

Cela peut se montrer facilement par récurrence si on en est pas convaincu.

Initialisation.
Pour $n=0$, on a $u_0=a_0=b_0$ car $b_0=(-1)^0a_0$.

Hérédité.
Supposons que pour un certain entier naturel $k$, on a

$$\mathcal P_k\ :\ \ \ \ \ u_{k}=b_0+\ldots+b_k=\sum_{j=0}^k b_j$$

Alors puisque $u_{k+1}=u_k+b_{k+1}$, l'hypothèse de récurrence $\mathcal P_k$ donne

$$u_{k+1}=b_0+\ldots+b_k +b_{k+1}=\sum_{j=0}^{k+1} b_j$$

prouvant ainsi l'hérédité.

Conclusion.

On en déduit que pour tout entier $n\geq 0$, on a  $u_{n}=b_0+\ldots+b_n$.

Ainsi $u_n$ est la somme des premiers termes de la suite géométrique $(b_n)$ de raison $\frac 1 4$ :

$$u_n=b_0+\ldots+b_n=\sum_{j=0}^n b_j=b_0\cdot \frac{1-\left(-\frac{1}{4}\right)^{n+1}}{1-\left(-\frac 1 4\right)}=c^2\cdot\frac{1-\left(-\frac{1}{4}\right)^{n+1}}{\frac 5 4}$$

Ainsi 

$$u_n=\frac 4 5\cdot c^2\left(1-\frac{-1}{4}\left(-\frac 1 4\right)^n\right)$$

Pour savoir ce que devient l'aire de la figure au bout d'une infinité d'étapes, on détermine si la limite de $(u_n)$ existe.

Comme $-1<-\frac 1 4 <1$, on sait que $\lim_{n}\left(-\frac 1 4\right)^n=0$. Ainsi,

$\lim_n \frac{-1}{4}\left(-\frac 1 4\right)^n=0$ puis $\lim_n 1- \frac{-1}{4}\left(-\frac 1 4\right)^n=1$.

On en déduit que

$$\lim_n u_n = \frac 4 5\cdot c^2$$

On peut en déduire qu'au bout d'une infinité d'étapes, l'aire obtenue vaut $\frac 4 5$ de l'aire du carré de l'étape $0$ soit $\frac 4 5$ du carré du côté de ce carré.

Versions téléchargeables

L'énoncé

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La solution

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