Voici un exercice niveau Terminale de la spécialité mathématique.
Des versions téléchargeables (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.
Thème. Suites, suites géométriques, limites.
Niveau Terminale de la spécialité mathématique.
Exercice 7.
On part de rien (étape $0$) et on ajoute un carré (étape $1$).
Ensuite et indéfiniment :
- On retire à la figure un carré dont les côtés mesurent la moitié du dernier carré ajouté
- On ajoute à la figure un carré dont les côtés mesurent la moitié du dernier carré retiré
Que peut-on dire de l'aire de la figure au bout d'une infinité d'étapes ?
La solution
Notons
- $c$ la longueur du côté du carré de départ
- $u_n$ l'aire de la figure à l'étape $n$ (pour $n\geq 0 $)
- $a_n$ l'aire du carré ajouté ou retiré à l'étape $n$ (pour $n\geq 0$)
Commençons par remarquer que si l'on divise par deux les côtés d'une carré, l'aire obtenue pour le petit carré vaut $\frac 1 4 $ de celle du carré initial.
On a
- $a_0=u_0=c^2$
- pour tout $n\geq 0$, $a_{n+1}=\frac{a_n}{4} $
- pour tout $n\geq 0 $, $u_{n+1}=\left\{\begin{array}{rcl} u_n-a_{n+1}&\textrm{si}&n \textrm{ est pair}\\ u_n+a_{n+1}&\textrm{si}&n \textrm{ est impair}\\ \end{array} \right.$. Donc $$u_{n+1}=u_n+(-1)^{n+1}a_{n+1}=u_n+b_{n+1}$$ avec $b_n=(-1)^{n}a_{n+1} $.
La suite $(a_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac 1 4$.
La suite $(b_n)$ est une suite géométrique de raison $-\frac 1 4 $ car $$b_{n+1}=(-1)^{n+1}a_{n+1}=(-1)\cdot (-1)^n\cdot \frac 1 4\cdot a_n=-\frac 1 4\left((-1)^na_n \right)=-\frac 1 4 b_n $$
On a pour tout $n\geq 0$,
$$\mathcal P_n\ :\ \ \ \ \ u_{n}=b_0+\ldots+b_n=\sum_{j=0}^n b_j$$
Cela peut se montrer facilement par récurrence si on en est pas convaincu.
Initialisation.
Pour $n=0$, on a $u_0=a_0=b_0$ car $b_0=(-1)^0a_0$.
Pour $n=0$, on a $u_0=a_0=b_0$ car $b_0=(-1)^0a_0$.
Hérédité.
Supposons que pour un certain entier naturel $k$, on a
Supposons que pour un certain entier naturel $k$, on a
$$\mathcal P_k\ :\ \ \ \ \ u_{k}=b_0+\ldots+b_k=\sum_{j=0}^k b_j $$
Alors puisque $u_{k+1}=u_k+b_{k+1}$, l'hypothèse de récurrence $\mathcal P_k $ donne
$$u_{k+1}=b_0+\ldots+b_k +b_{k+1}=\sum_{j=0}^{k+1} b_j $$
prouvant ainsi l'hérédité.
Conclusion.
On en déduit que pour tout entier $n\geq 0$, on a $u_{n}=b_0+\ldots+b_n$.
Ainsi $u_n$ est la somme des premiers termes de la suite géométrique $(b_n)$ de raison $\frac 1 4 $ :
$$u_n=b_0+\ldots+b_n=\sum_{j=0}^n b_j=b_0\cdot \frac{1-\left(-\frac{1}{4}\right)^{n+1}}{1-\left(-\frac 1 4\right)}=c^2\cdot\frac{1-\left(-\frac{1}{4}\right)^{n+1}}{\frac 5 4} $$
Ainsi
$$u_n=\frac 4 5\cdot c^2\left(1-\frac{-1}{4}\left(-\frac 1 4\right)^n\right) $$
Pour savoir ce que devient l'aire de la figure au bout d'une infinité d'étapes, on détermine si la limite de $(u_n)$ existe.
Comme $-1<-\frac 1 4 <1 $, on sait que $\lim_{n}\left(-\frac 1 4\right)^n=0$. Ainsi,
$\lim_n \frac{-1}{4}\left(-\frac 1 4\right)^n=0 $ puis $\lim_n 1- \frac{-1}{4}\left(-\frac 1 4\right)^n=1 $.
On en déduit que
$$\lim_n u_n = \frac 4 5\cdot c^2 $$
On peut en déduire qu'au bout d'une infinité d'étapes, l'aire obtenue vaut $\frac 4 5$ de l'aire du carré de l'étape $0$ soit $\frac 4 5$ du carré du côté de ce carré.
D'autres exercices
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En attendant, voici la page regroupant tous les exercices du dimanche.
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