$\mathbb Q$ (3) Valeur absolue. Suites de rationnels. Suites de Cauchy.

Cet article fait suite à 

• $\mathbb Q$ (0). Relation d'équivalence sur un ensemble. L'ensemble $\mathbb Q$
• $\mathbb Q$ (1). Structure de  corps de $\mathbb Q$. Ordre sur $\mathbb Q$
• $\mathbb Q$ (2). Fractions irréductibles. Aucun rationnel n'a 2 pour carré.

Dans cet article, nous définissons les suites de nombres rationnels, la notion de convergence pour les suites, ainsi les suites de Cauchy de nombres rationnels. Pour cela, nous aurons besoin de la valeur absolue des nombres rationnels.

Le lecteur habitué aux suites de nombres réels retrouvera des définitions et des démonstrations similaires. j'ai cependant souhaité tout refaire ici, car notre but étant de construire les nombres réels, on ne peut pas utiliser ces définitions ou ces démonstrations.

Valeur absolue de nombres rationnels

Pour tout nombre $x\in \mathbb Q$, on appelle la valeur absolue de $x$, le nombre positif 

$$|x|=\left\{\begin{array}{rcl} x  & \textrm{si }\ & x\geq 0 \\  -x & \textrm{si }\ & x< 0 \end{array} \right.$$

Propriété 1.

(1) $|x|=0\longleftrightarrow x=0$

(2) Pour tous rationnels $x,y$, on a l'inégalité triangulaire :s

$$|x+y|\leq |x|+|y|$$

Preuve. 

(1) Comme $0\geq 0$, $|0|=0$ d'où l'implication $\Longleftarrow$. 

Par définition de la valeur absolue de $x$, si $x<0$ ou $x>0$, alors $|x|>0$. On en déduit l'implication $\longrightarrow$. 

(2) Comme $|x|=\sup(x,-x)$, on a toujours $x\leq |x|$ et $-x\leq |x|$. De même, $y\leq |y|$ et $-y\leq |y|$.

Or par définition $|x+y|$ vaut $x+y$ ou $-(x+y)=-x-y$. Dans yn cas comme dans l'autre, on a  $|x+y|\leq |x|+|y|$.

Suites de rationnels

Une suite de rationnels $u$ est une fonction $\mathbb N \longrightarrow \mathbb Q$. 

Pour $n\in \mathbb N$, on note généralement $u_n=u(n)$ l'image de $n$ par $u$, appelée le terme d'indice $n$ de la suite $u$.

On dit qu'une suite $u$ est croissante (respectivement strictement croissante) si pour tout entier naturel $n$, $u_n\leq u_{n+1}$ (respectivement $u_n<u_{n+1}$).

On dit qu'une suite $u$ est décroissante (respectivement strictement décroissante) si pour tout entier naturel $n$ $u_n\geq u_{n+1}$ (respectivement $u_n> u_{n+1}$).

Propriété 2. 

a) Si $u$ est une suite décroissante (respectivement strictement décroissante), alors $n<m$ implique $u_n\geq u_m$ (respectivement $u_n>u_m$).

b) Si $u$ est une suite croissante (respectivement strictement croissante), alors $n<m$ implique $u_n\leq u_m$ (respectivement $u_n<u_m$).

Démonstration. 

a) Supposons $u$ décroissante.

Supposons $n<m$. Alors $m=n+r$ pour un certain entier naturel $r$.

On a $u_n\geq u_{n+1}$   car $u$ est décroissante.

Supposons que pour un certain entier naturel $k$, on a 

$u_n\geq u_{n+k}$. Comme $u_{n+k}\geq u_{n+k+1}$, on a par transitivité de $\geq$, $u_n\geq u_{n+k+1}$.

On a donc montré par récurrence que pour tout $k$, $u_n\geq u_{n+k}$.

Pour $k=r$, on a $u_n\geq u_m$.

Dans cette démonstration, on peut supposer que $u$ est strictement décroissante, et remplacer chaque symbole $\geq$ par $>$.

b) La démonstration est analogue.

Dire que la suite $u$ converge vers un certain rationnel $x$, c'est dire que pour tout rationnel $\varepsilon>0$, il existe un entier $N=N_\varepsilon$ tel que pour tout $n\geq N$,

$|u_n-x|\leq \varepsilon$.

Exemple. 

La suite $u$ définie par $u_0=0$ et $u_n=\frac 1 n$ si $n$ est entier naturel non nul converge vers $0$.

Preuve. 

Soit $\varepsilon=\frac \alpha \beta$, avec $\alpha$ et $\beta$ entiers  strictement positifs. 

On a $\frac 1 n\leq \frac \alpha \beta \Longleftrightarrow \beta n\alpha \Longleftrightarrow n\geq \frac \beta \alpha$.

Soit $N=\beta+1$. Comme $\beta \geq \frac \beta \alpha$, pour tout $n\geq N$, $u_n\leq\varepsilon$. 

On en déduit que $u$ converge vers $0$.

Propriété 3. 

Si une suite de rationnels $u$ converge vers $x$ et vers $y$, alors $x=y$.

Preuve. 

Par l'absurde. Supposons que $x\neq y$. Sans perte de généralité, on peut supposer $x<y$.

On note $\varepsilon=\frac{1}4 (y-x)$. 

D'après la définition de la convergence de $u$ vers $x$, il existe un entier naturel $N$ tel si $n\geq N$, $|u_n-x|<\varepsilon$.

D'après la définition de la convergence de $u$ vers $y$, il existe un entier naturel $M$ tel si $n\geq M$, $|u_n-y|<\varepsilon$.

On a d'après l'inégalité triangulaire, pour tout entier naturel $n$,

$$y-x= |x-y|=|x-u_n+u_n-y|\leq |x-u_n|+|u_n-y|$$

Soit $P=\max(N,M)$. Et soit $n\geq P$, l'inégalité précédente implique 

$$y-x=\leq 2\varepsilon=\frac{1}2(y-x)$$

On a donc une contradiction car la dernière inégalité implique $1\leq \frac 1 2$.

Lorsqu'une suite $u$ de rationnels converge vers un réel $x$, on dit que $x$ est la limite de $u$ et on notera $x=\lim u$.

Sous-suites d'une suite

Soit $u$ une suite (de nombres rationnels). 

Soit $\varphi:\mathbb N \rightarrow \mathbb N$ fonction. 

Si $\varphi$ est strictement croissante, c'est-à-dire si $m>n$ implique $\varphi(m)>\varphi(n)$, on dit que la suite $v$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_{\varphi(n)}$ (que l'on peut noter $v=u\circ \varphi$) est une sous-suite (ou une suite extraite, ou une extraction) de $u$. 

$\varphi$ est appelée (fonction) extractrice.

Si $v$ est une sous-suite de $u$, elle a une infinité de termes en commun, sans répétition et dans le même ordre, avec $u$, car $\varphi$ est strictement croissante.

Propriété 4. 

Soit $v$ une sous-suite de $u$.

a) Si $u$ est décroissante (respectivement strictement décroissante), alors $v$ est décroissante (respectivement strictement décroissante). 

b) Si $u$ est croissante (respectivement strictement croissante), alors $v$ est croissante (respectivement strictement croissante).

Démonstration.

a) On suppose que $u$ est décroissante. 

Soit $n$ un entier naturel. Notons $\varphi$ une extractrice telle que $v=u\circ \varphi$. On applique la propriété 2 ci-avant : $$n<n+1\Rightarrow \varphi(n)<\varphi(n+1) \Rightarrow v_n=u_{\varphi(n)}\geq u_{\varphi(n+1)}=v_{n+1}$$

Pour le cas où $u$ est strictement décroissante, il suffit de remplacer les inégalité larges par des inégalités strictes.

b) Démonstration analogue. 

Suites de Cauchy de rationnels

On dit qu'une suite rationnelle $u$ est une suite de Cauchy si pour tout $\varepsilon>0$, il existe un entier naturel $N$ tel que pour tous entiers $p,m\geq N$, $|u_p-u_m|\leq \varepsilon$.

Propriété 5.

Toute suite rationnelle convergente est une suite de Cauchy. 

Preuve. 

Soit $u$ une suite convergente. 

Soit $\varepsilon>0$. On note  $t$ la limite de $u$.

Ainsi par définition de $t$, il existe $N>0$ tel que pour tout $n\geq N$, $|u_n-t|\leq\frac 1 2 \varepsilon$.

Pour tous entiers $p,m\geq N$, on a donc d'après l'inégalité triangulaire : 

$$|u_p-u_m|\leq |u_p-t|+|t-u_m|\leq \frac 1 2 \varepsilon+ \frac 1 2 \varepsilon=\varepsilon$$

Nous verrons plus tard que dans $\mathbb Q$, la réciproque de cette propriété est fausse. 

Propriété 6. 

Toute suite de rationnels décroissante minorée (dont tous les termes sont supérieures à un même nombre) est de Cauchy.

Démonstration. 

Soit $(u_n)$ une suite de rationnels décroissante minorée par un rationnel $m$.

On suppose donc que pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n\geq \alpha$.

On raisonne par l'absurde. Supposons que $(u_n)$ n'est pas de Cauchy. On va contredire la définition de suite de Cauchy donnée plus haut :

Il existe un rationnel $\varepsilon>0$ tel que pour tout entier naturel $N$, il existe $m=m_N$, $n=n_N$, avec $N\leq n_N<m_N$ vérifiant $|u_m - u_n| > \varepsilon$. Comme $m>n$, et que la suite est décroissante on peut même écrire $u_n-u_m>\varepsilon$

En prenant successivement $N=1,2,3,....$, on construit une suite d'indices.

Pour $N=0$, on a $0=N\leq n_0<m_0$ tels que

$$(0) \ \ \ \ u_{n_0} - u_{m_0} > \varepsilon$$

On pose $\varphi(0)=n_0$ et $\varphi(1)=m_0$.

On a $$u_{\varphi(0)}-u_{\varphi(1)}> \varepsilon$$

Pour $N=m_0$,  il existe $m_0=N\leq n_1<m_1$ tels que

$$(2) \ \ \ \ u_{n_1} - u_{m_1} > \varepsilon$$

On a donc puisque $u_{n_1}<u_{m_0}$ (par décroissance de la suite),

$$u_{m_0}-u_{m_1}=u_{m_0} - u_{n_1}+u_{n_1} - u_{m_1}\geq u_{n_1} - u_{m_1} >\varepsilon$$

On pose $\varphi(2)=m_1$, et on a 

On a $$u_{\varphi(1)}-u_{\varphi(2)}> \varepsilon$$

Et plus généralement, pour tout entier naturel $k$, pour $N=k$, on a  $N\leq n_k<m_k$ tels que

$$(k) \ \ \ \ u_{m_k} - u_{n_k}> \varepsilon$$

On pose $\varphi(k)=m_{k-1}$.

Supposons que pour un certain entier naturel $k$, 

$$u_{\varphi(k)}-u_{\varphi(k+1)}> \varepsilon$$

On a par définition $\varphi(k+2)=m_{k+1}$ avec  

$$(k+1) \ \ \ \  u_{m_{k+1}} - u_{n_{k+1}} > \varepsilon$$

On a par construction 

$$u_{\varphi(k+1)}-u_{\varphi(k+2)}=u_{m_{k}}-u_{m_{k+1}}=u_{m_k} - u_{n_{k+1}}+u_{n_{k+1}} - u_{m_{k+1}}\geq u_{n_{k+1}} - u_{m_{k+1}} >\varepsilon$$

Ainsi par construction de $\varphi$, on a pour tout $n\in \mathbb N$, 

$$(\star) \ \ \ \ \ u_{\varphi(n)}-u_{\varphi(n+1)}>\varepsilon$$

Définissons deux suites $v$ et $w$ par 

$v_n=u_{\varphi(n)}$ (pour tout $n\in\mathbb N$)

$w_n=v_0-v_n$ (pour tout $n\in\mathbb N$)

Tout d'abord la suite $v$ est décroissante car c'est une suite extraite de $u$ et que $u$ est décroissante (propriété 4??).

En fait, par construction, on a $v_n-v_{n+1}\geq \varepsilon$.

Pour tout $n$, $v_n=u_{\varphi(n)}\geq \alpha$. 

Ainsi pour tout entier $n$, on a $v_0-v_n\leq v_0-m$. $M=v_0-\alpha$ est donc un majorant (un nombre supérieur ou égal à tous les termes) de $w$.

On montre par récurrence que $w_n>n\varepsilon$.

Pour $n\geq 0$. Pour $n=0$, $w_0=v_0-v_0=0$, il n'y a rien à faire.

Supposons que pour un certain entier naturel $k$, $w_k\geq k\varepsilon$. On a $$w_{k+1}=v_0-v_{k+1}=w_0-v_k+v_k-v_{k+1}\geq k\varepsilon +\varepsilon\geq (k+1)\varepsilon$$

La récurrence est prouvée, donc pour tout entier naturel $n$, on a $w_n>n\varepsilon$.

Or pour $n\geq 2\times M\times \frac 1\varepsilon$ (l'existence d'un tel $n$ est assurée par le fait que $\mathbb Q$ est archimédien), on a $n\varepsilon>2\alpha$ d'où $w_n>M$ contredisant le fait que $w$ est majorée par $M$. 

La propriété est démontrée.

Et ensuite

Dans l'article suivant, nous parlerons de continuité dans $\mathbb Q$. Comme ici, la continuité (usuelle) réelle n'existe pas encore car $\mathbb R$ n'est pas encore construit.

Nous verrons qu'il existe des suites de Cauchy qui ne converge pas dans $\mathbb Q$. C'est cette lacune de $\mathbb Q$ qu'il faudra combler pour obtenir les nombres rééls.