Spécialité Maths - Exercice 8 - Une solution

Voici un exercice niveau Terminale de la spécialité mathématique.

Des versions téléchargeables (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.  

Thème. Fonctions, exponentielle, théorème des valeurs intermédiaires.

Niveau Terminale de la spécialité mathématique.

Exercice 8.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R $ par

$$f(x) = (x+1)\mathrm e^{x - 1} + 2$$

Existe-t-il une tangente à la courbe de la fonction $f$ passant par le point $A(0;1)$ ?

La solution 

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb R $  car les fonctions 

• $u:x\mapsto x+1$ 
• $v:x\mapsto x-1$ 
• $w:x\mapsto \mathrm{e}^x$
• $k:x\mapsto +2$ 

sont dérivables sur $\mathbb R $ et que 

$$f=k\circ \left(u\times w\circ v \right)=u\times w\circ v +2$$

Ainsi la courbe de $f$ admet une tangente en tout point $M$ d'abscisse $a$ donné.

Soit $a$ un réel et $\mathcal T_a $ la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$. L'équation cartésienne réduite de $\mathcal T_a $ est donnée par 

$$\mathcal T_a : y=f'(a)(x-a)+f(a) $$

Or $f'(x)=u'(x) w\circ v(x) + u(x)(w\circ v)'(x)=u'(x) w\circ v(x) + u(x)v'(x)w'\circ v(x) $.

On a 

• $u'(x)=1 $
• $v'(x)=1 $
• $w'(x)=\mathrm{e}^x$

Donc $$f'(x)=\mathrm e^{x - 1}+(x+1)\mathrm e^{x - 1}=(x+2)\mathrm e^{x - 1}$$

Ainsi $$\mathcal T_a : y=(a+2)\mathrm e^{a-1}(x-a)+(a+1)\mathrm e^{a-1}+2$$

D'où

$$\mathcal T_a : y=(a+2)\mathrm e^{a-1}x+(-a^2-a+1)\mathrm e^{a-1}+2 $$

On en déduit que la tangente $\mathcal T_a$ passe par $A(0;1)$ si et seulement si 

$$(-a^2-a+1)\mathrm{e}^{a-1}+2=1 $$ c'est-à-dire 

$$(-a^2-a+1)\mathrm{e}^{a-1}+1=0 $$

Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=(-x^2-x+1)\mathrm{e}^{x-1}+1 $ sur $[0;+\infty[$.

$g$ est dérivable car composée de fonctions dérivables et on obtient $g'(x)=-x(x-3)\mathrm{e}^{x-1} $ qui est du signe de $-x$ car $x+3>0 $ et $\mathrm{e}^{x-1} $. Ainsi $g'(x)<0 $ sur $]0;+\infty[$.

On en déduit que $g$ est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$ .

En effet, $\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{x-1}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^{x}}{\mathrm e}=+\infty $ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}-x^2-x+1=-\infty $.

De plus $g(0)=\mathrm{e}^{-1}+2>0 $.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe donc un unique $\alpha\in ]0;+\infty[ $ tel que $g(\alpha)=0 $. 

Pour trouver ce nombre $\alpha$, on peut procéder par tâtonnement, en faisant un tableau de valeurs de la fonction $g$, en traçant comme ci-dessous la courbe de la fonction, ou en cherchant une tangente par tâtonnement comme ci-dessous à l'aide de Geogebra. 

On peut alors conjecturer que $g(1)=0$.

En calculant $g(1)$, on obtient effectivement $g(1)=(-1-1+1)\mathrm{e}^{0}+1 =0$, donc $1$ est l'unique solution de

\[(-x^2-x+1)\mathrm{e}^{x-1}+1 = 0.\] sur $]0;+\infty[ $.

On en déduit que $\mathcal T_1$ est l'unique tangente à la courbe 

Versions téléchargeables

L'énoncé

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La solution

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D'autres exercices

Un nouvel exercice sur ce blog tous les dimanches.

En attendant, voici la page regroupant tous les exercices du dimanche. 

Fonction puissance et fonction exposant (Approfondissement spécialité maths)

Voici un approfondissement du programme de spécialité maths.

Thème. Fonction exponentielle, étude de fonctions.

Niveau. Terminale spécialité maths. Approfondissement.

Cet article s'intéresse tout d'abord aux fonctions de la forme $x\longmapsto x^a $ (fonctions puissances) puis aux fonctions du type $x\longmapsto \alpha^x $ (fonction exposant).

Fonctions puissance

Pour un nombre entier naturel $a$, ${\mathrm e}^ {a\ln x}={\mathrm e}^{\ln(x^a)}=x^a$. 

Pour un nombre entier négatif $b=-a$, avec $a$ positif, on a donc $x^b=\frac{1}{x^a}=\frac{1}{ {\mathrm e}^ {a\ln x}}={\mathrm e}^{-a\ln x}={\mathrm e}^{b\ln x}$.

Cela nous donne envie pour un nombre réel quelconque $\alpha$ de définir

$$(\star)\ \ \ \ \ x^\alpha= {\mathrm e}^ {\alpha\ln x}$$

Tant que $x>0$, cette définition a du sens.

Ainsi on définit pour tout $x>0$, et pour tout réel $\alpha$,

$$x^\alpha= {\mathrm e}^ {\alpha\ln x}$$

La fonction $p_\alpha:x\longmapsto x^\alpha$ est appelée fonction puissance $\alpha$-ième.

Propriété 0.

Pour tout $\alpha$ réel, pour tout réel $x>0$,

$$\ln\left(x^\alpha\right)=\alpha \ln x$$

Preuve. 

$$\ln\left(x^\alpha\right)=\ln \left({\mathrm e}^{\alpha \ln x}\right)=\alpha \ln x$$

Propriété 1.

On a pour $\alpha$ et $\beta$ réels, pour tout $x$ strictement positif,

$$x^\alpha x^\beta=x^{\alpha+\beta}$$

Démonstration.

$x^\alpha x^\beta={\mathrm e}^ {\alpha\ln x}{\mathrm e}^ {\beta\ln x} ={\mathrm e}^ {(\alpha+\beta)\ln x} = x^{\alpha+\beta}$.

Propriété 2.

Pour tout $\alpha$ et $\beta$ réels, pour tout réel $x>0$,

$$\left(x^\alpha\right)^\beta=x^{\alpha \beta } $$

Preuve.

On a d'après la définition $(\star)$ puis la propriété 1, puis à nouveau $(\star)$,

$$\left(x^\alpha\right)^\beta={\mathrm e}^{\beta\ln\left(x^\alpha\right)}={\mathrm e}^{\beta\alpha\ln\left(x\right)} =x^{\alpha \beta}$$

Propriété 3.

Pour tout réel $\alpha$, la fonction $p_\alpha:x\longmapsto x^\alpha$ est continue et dérivable sur $]0;+\infty[$.

De plus si $\alpha\neq 0$, $p_{\alpha}'(x)=\alpha x^{\alpha-1}$.

Preuve. 

$p_\alpha$ est dérivable car c'est une composée de fonctions dérivables. Elle est en particulier continue.

On a en effet $p_\alpha={\mathrm e}^p \circ u$

où $u$ est définie sur $]0;+\infty[$ par $u(x)=\alpha \ln x$. 

Ainsi $$p_{\alpha}'=u'\cdot {\exp}'\circ u=u'\cdot\exp \circ u=u'\cdot p_{\alpha}$$ 

Comme $u'(x)=\frac{\alpha}{x}=\alpha x^{-1}$, on a $$p_\alpha'(x)=\alpha x^{-1}x^\alpha=\alpha x^{\alpha-1}$$

Ci-dessous quelques fonctions puissances

 

Limite

Soit $\alpha$ un nombre réel, est-ce que $\lim_{x\rightarrow 0} x^\alpha$ existe ?

On a $x^\alpha=\mathrm e^{\alpha \ln x}$. Lorsque $x$ tend vers zéro, $\ln x$ tend vers $-\infty$. Il y trois cas possibles :

(1) $\alpha<0$. Comme $\alpha \ln x$ tend vers $+\infty$, $x^\alpha=\mathrm e^{\alpha \ln x}$ tend vers $+\infty$.

(2) $\alpha=0$. Comme pour tout $x>0$ $\mathrm e^{0 \ln x}=1$, on a $\lim_{x\rightarrow 0} x^\alpha=1$.

(3) $\alpha>0$. Comme $\alpha \ln x$ tend vers $+\infty$, $x^\alpha=\mathrm e^{\alpha \ln x}$ tend vers $0$.

Ainsi on peut prolonger la fonction $x\longmapsto x^\alpha$ en zéro par continuité en posant : 

$0^\alpha=1$, si $\alpha=0$, autrement dit $0^0=1$

$0^\alpha=0$, si $\alpha>0$.

Fonctions exposant 

 

Pour tout réel strictement positif $a$, on considère la fonction $e_a:x\longmapsto a^x$.

C'est une  fonction exposant.

Propriété 4. 

Pour tout réel strictement positif $a$, la fonction $e_a:x\longmapsto a^x$ est dérivable (et donc continue).

De plus $e_a'=\ln(a)\cdot e_a$

Preuve.

$e_a(x)={\mathrm e}^{x\ln a}$ donc $e_a$ est dérivable de dérivée $e_a'(x)=(\ln a){\mathrm e}^{x\ln a}$.

En fonction de $a$, on en déduit l'allure de la fonction $e_a$. Plus précisément : $e_a$ est strictement croissante si et seulement si $a>1$

• $e_a$ est strictement décroissante si et seulement si $a<1$
• $e_a$ est strictement décroissante si et seulement si $a=1$

En effet par propriété de la fonction $\ln$ (voir graphe ci-dessous)

• $\ln(a)<0 $ si $0<a<1$
• $\ln(a)=0 $ si $a=1$
• $\ln(a)>0 $ si $a>1$