Spécialité Maths - Exercice 8 - Une solution

Voici un exercice niveau Terminale de la spécialité mathématique.

Des versions téléchargeables (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.  

Thème. Fonctions, exponentielle, théorème des valeurs intermédiaires.

Niveau Terminale de la spécialité mathématique.

Exercice 8.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par

$$f(x) = (x+1)\mathrm e^{x - 1} + 2$$

Existe-t-il une tangente à la courbe de la fonction $f$ passant par le point $A(0;1)$ ?

La solution 

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb R$  car les fonctions 

• $u:x\mapsto x+1$ 
• $v:x\mapsto x-1$ 
• $w:x\mapsto \mathrm{e}^x$
• $k:x\mapsto +2$ 

sont dérivables sur $\mathbb R$ et que 

$$f=k\circ \left(u\times w\circ v \right)=u\times w\circ v +2$$

Ainsi la courbe de $f$ admet une tangente en tout point $M$ d'abscisse $a$ donné.

Soit $a$ un réel et $\mathcal T_a$ la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$. L'équation cartésienne réduite de $\mathcal T_a$ est donnée par 

$$\mathcal T_a : y=f'(a)(x-a)+f(a)$$

Or $f'(x)=u'(x) w\circ v(x) + u(x)(w\circ v)'(x)=u'(x) w\circ v(x) + u(x)v'(x)w'\circ v(x)$.

On a 

• $u'(x)=1$
• $v'(x)=1$
• $w'(x)=\mathrm{e}^x$

Donc

$$f'(x)=\mathrm e^{x - 1}+(x+1)\mathrm e^{x - 1}=(x+2)\mathrm e^{x - 1}$$

Ainsi

$$\mathcal T_a : y=(a+2)\mathrm e^{a-1}(x-a)+(a+1)\mathrm e^{a-1}+2$$

D'où

$$\mathcal T_a : y=(a+2)\mathrm e^{a-1}x+(-a^2-a+1)\mathrm e^{a-1}+2$$

On en déduit que la tangente $\mathcal T_a$ passe par $A(0;1)$ si et seulement si 

$$(-a^2-a+1)\mathrm{e}^{a-1}+2=1$$ c'est-à-dire 

$$(-a^2-a+1)\mathrm{e}^{a-1}+1=0$$

Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=(-x^2-x+1)\mathrm{e}^{x-1}+1$ sur $[0;+\infty[$.

$g$ est dérivable car composée de fonctions dérivables et on obtient $g'(x)=-x(x-3)\mathrm{e}^{x-1}$ qui est du signe de $-x$ car $x+3>0$ et $\mathrm{e}^{x-1}$. Ainsi $g'(x)<0$ sur $]0;+\infty[$.

On en déduit que $g$ est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$ .

En effet, $\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{x-1}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^{x}}{\mathrm e}=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}-x^2-x+1=-\infty$.

De plus $g(0)=\mathrm{e}^{-1}+2>0$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe donc un unique $\alpha\in ]0;+\infty[$ tel que $g(\alpha)=0$. 

Pour trouver ce nombre $\alpha$, on peut procéder par tâtonnement, en faisant un tableau de valeurs de la fonction $g$, en traçant comme ci-dessous la courbe de la fonction, ou en cherchant une tangente par tâtonnement comme ci-dessous à l'aide de Geogebra. 

On peut alors conjecturer que $g(1)=0$.

En calculant $g(1)$, on obtient effectivement $g(1)=(-1-1+1)\mathrm{e}^{0}+1 =0$, donc $1$ est l'unique solution de

$$(-x^2-x+1)\mathrm{e}^{x-1}+1 = 0.$$ sur $]0;+\infty[$.

On en déduit que $\mathcal T_1$ est l'unique tangente à la courbe 

Versions téléchargeables

L'énoncé

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La solution

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