$\mathbb Q$ (4) : Continuité dans $\mathbb Q$

Cet article fait suite à 

• $\mathbb Q$ (0). Relation d'équivalence sur un ensemble. L'ensemble $\mathbb Q$
• $\mathbb Q$ (1). Structure de  corps de $\mathbb Q $. Ordre sur $\mathbb Q$
• $\mathbb Q$ (2). Fractions irréductibles. Aucun rationnel n'a 2 pour carré.
• $\mathbb Q$ (3). Valeur absolue. Suites de rationnels. Suites de Cauchy.

Dans cet article, nous définissons la continuité dans $\mathbb Q $ sans faire référence à la continuité dans $\mathbb R $, puisque $\mathbb R$ n'existe pas (encore) !

Continuité en point point de $\mathbb Q $

Nous dirons qu'une fonction $f:\mathbb Q \longrightarrow \mathbb Q$ est continue en un rationnel $t$ pour la topologie de $\mathbb Q$ si pour tout rationnel $\varepsilon>0$, il existe un rationnel $\delta>0$ tel que 

pour tout $x$ vérifiant $|t-x|\leq \delta$, on a $|f(t)-f(x)|\leq \varepsilon$.

Remarques. (en comparaison avec la continuité de $\mathbb R$).

On pourra consulter l'article [continuité en un point de $\mathbb R$] et comparer les définitions de continuité.

D'un point de vue plus large, pour un ensemble donné la notion de continuité peut prendre plusieurs forme suivant la topologie adoptée. Pour nous, la topologie sur $\mathbb Q$ est la topologie induite par la topologie usuelle de $\mathbb R$. De futurs articles à ce sujet pourront apparaître sur ce site plus tard...

Revenons à la continuité dans $\mathbb Q$ telle que nous l'avons définie plus haut. Dans cet article, pour des raisons de simplicité, nous l'appellerons simplement continuité, sans préciser de laquelle il s'agit.

Propriété 1.

Par exemple les fonctions affines $x\mapsto ax+b$ définies sur $\mathbb Q$, sont continues sur $\mathbb Q$.

Démonstration. 

Soit $t$ un nombre rationnel. On va montrer que $f$ définie par $f(x)=ax+b$ est continue en $t$.

On note pour tout rationnel $x$, $d(x)=|f(x)-f(t)|=|a(x-t)|$.

• Si $a=0$, $d(x)=0$.
• Si $a\neq 0$, alors $d(x)\leq \varepsilon \Longleftrightarrow |x-t|\leq \frac{\varepsilon}{|a|} $.

Soit $\varepsilon>0$ un rationnel. D'après ce qui précède, prendre $x$ tel que $\delta=\frac{\varepsilon}{|a|}$ implique $|f(x)-f(t)|\varepsilon$.

On en déduit que pour tout $t$, $f$ est continue en $t$. $f$ est donc une fonction continue sur $\mathbb R$.

Propriété 2. 

La fonction $h:x\mapsto 1 x $ définie en tout rationnel non nul est continue en tout rationnel $t>0$.

Démonstration. 

Soit $t>0$ un rationnel.  

Pour $x>0$, on note

$$ d(x,t)=\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{t}\right| = \left| \frac{t-x}{tx}\right|=\frac{\left|t-x \right|}{tx}$$

Commençons par montrer que si $0<t_1<t_2$ pour des rationnels $t_1$ et $t_2$, alors $\frac{1}{t_1}>\frac{1}{t_2}$.

On note $t_1=\frac{a_1}{b_1} $ et $t_2=\frac{a_2}{b_2} $ pour des entiers strictement positifs $a_1,a_2,b_1,b_2 $. On a $t_1=\frac{b_1}{a_1}$ et $t_2=\frac{b_2}{a_2}$.

Comme $a_1,a_2,b_1,b_2$ sont strictement positifs, on a successivement

$$\begin{array}{lrcl} &\frac{a_1}{b_1}&<&\frac{a_2}{b_2}\\ \Rightarrow &\frac{b_2\times a_1}{b_1}&<&a_2\\ \Rightarrow &b_2\times a_1&<&b_1 a_2\\ \Rightarrow &b_2&<&\frac{b_1 a_2}{a_1}\\ \Rightarrow &\frac{b_2}{a_2}&<&\frac{b_1}{a_1}\\ \end{array} $$

Ainsi $0<t_1<t_2$ implique $\frac{1}{t_1}>\frac{1}{t_2}$. On peut dire que la fonction $h:x\mapsto 1 x$ est strictement décroissante pour $x>0$.

Si $\left|t-x \right|\leq \frac{t}{2}$, on a $-\frac t 2\leq x-t\leq \frac t 2$ d'où en particulier $0<\frac t 2\leq x $. Comme la fonction $h$ est strictement décroissante pour $x>0$, on en déduit que $\frac 1 x\leq \frac 2 t$. Dans ce cas, on obtient 

$$ d(x,t)=\frac{\left|t-x \right|}{tx}\leq |t-x|\cdot \frac{2}{t^2} $$

Soit $\varepsilon>0$. 

Soit $\delta=\min\left(\frac t 2,\frac{\varepsilon t^2}{2} \right)$ et  

soit $x$ tel que $|t-x|\leq \delta$.

On a alors $d(x,t)\leq |t-x|\cdot \frac{2}{t^2}\leq \frac{\varepsilon t^2}{2}\cdot \frac{2}{t^2}=\varepsilon$.

La fonction $h$ est donc continue en tout $t>0$.

Propriété 3. 

La somme de deux fonctions rationnelles continues en un rationnel $t$ est continue en un rationnel $t$. 

Autrement dit, si $f$ et $g$ sont deux fonctions rationnelles continues en un nombre $t$, alors, $f+g:x\mapsto f(x)+g(x)$ est continue en $t$.

Démonstration.

 Soit $\varepsilon>0$ un rationnel. On prend $\varepsilon_1=\varepsilon_2=\frac \varepsilon 2$.

Ainsi

• $|x-t|\leq \alpha$ implique $|f(x)-f(t)|<\frac \varepsilon 2$ 
• $|x-t|\leq \beta$ implique $|g(x)-g(t)|< \frac \varepsilon 2$

On a d'après l'inégalité triangulaire, $$ |(f+g)(t)-(f+g)(x)|= |f(x)-f(t) + g(x)-g(t)|\leq |f(x)-f(t)|+|g(x)-g(t)|$$

Ainsi, pour tout $x$ tel que $|x-t|\leq \min(\beta,\alpha)$, on a 

$$ |(f+g)(t)-(f+g)(x)|\leq \frac \varepsilon 2 + \frac \varepsilon 2=\varepsilon$$

$f+g$ est donc continue en $t$.

Propriété 4.

Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb Q$.

Si $u$ est une suite de rationnels qui converge dans $\mathbb Q$ vers une limite $t$, alors la suite $f(u)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $f(u)_n=f(u_n)$ converge vers $f(t)$.

Preuve. 

Soit $\varepsilon>0$ un nombre rationnel. 

Comme $f$ est continue, il existe un rationnel $\delta$ strictement positif tel que pour tout $x$ vérifiant $|x-t|\leq \delta$, 

on a $|f(x)-f(t)|\leq \varepsilon$.

Comme de plus, $\lim u=t$, il existe un entier naturel $N$ tel que pour tout entier naturel $n\geq N$, $|u_n-t|\leq \delta$. 

Ainsi pour tout $n\geq N$, $|f(u_n)-f(t)|\leq \varepsilon$. 

On a bien montré que $\lim f(u)=f(t)$.

Propriété 5.

Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb Q$.

Étant donnée une suite telle que $u_0\in \mathbb Q$ et pour tout $n\in \mathbb N$, $u_{n+1}=f(u_n)$.

Si $u$ converge dans $\mathbb Q$ vers une limite $t$, alors $t=f(t)$.

Preuve. 

Il suffit de montrer que la suite $v$ définie par $v_n=u_{n+1}$ converge vers $x$.

Cela vient directement de la définition de convergence car comme $n+1\geq n$, si pour tout $n>N$, $|u_n-t|\leq \varepsilon$, on a 

aussi $|u_{n+1}-t|\leq \varepsilon$.

Comme $v=f(u)$, $\lim v=\lim f(u)$ d'où $t=f(t)$.

Exemple 1. 

Considérons la suite $u$ définie par

$$\left\{\begin{array}{rclr} u_0  &=&1&  \\  u_{n+1}  & =&\frac{1}{3}u_n+1&\end{array} \right.$$

On note $f$ la fonction $x\mapsto \frac{1}{3}x+1$.

Cette fonction est continue. En effet, pour tout $t$, pour tout $\varepsilon>0$ rationnel, on a $$|f(t)-f(x)| =\left|\frac 1 3 t+1-\frac{1}{3}x-1\right|=\left|\frac 1 3 t-\frac{1}{3}x\right|=\frac 1 3\left| t-x\right|$$

Donc pour $|x-t|\leq\delta= \varepsilon$, on a $|f(t)-f(x)|\leq \varepsilon$.

La continuité de $f$ est donc prouvée. 

Si cette suite converge, alors sa limite $x$ doit vérifier $\frac 1 3 x+1=x$. La seule possibilité pour $x$ est donc $\frac 3 2$.

Remarque.

On n'a pas montré que la suite convergeait vers $\frac 3 2$, mais que $\frac 3 2$ était sa seule limite possible.

Cela peut se montrer néanmoins, avec les mêmes méthodes que dans le cas réel. Ces méthodes s'appuient sur des propriétés similaires qui se démontrent exactement de la même façon. Ainsi on se ramène en posant $v_n=u_n-\frac 3 2$, à une suite $v$ géométrique qui comme dans le cas réel converge vers $0$. 

On en déduit alors que  $\lim u=\frac 3 2$.

Et ensuite

Dans le prochain article de cette série, on montrera que $\mathbb Q $ possède des lacunes. On exhibera une suite de Cauchy qui ne converge pas. Cela nous ammènera à compléter $\mathbb Q$, c'est-à-dire à construire un ensemble (qui sera un corps) contenant (une copie de) $\mathbb Q$, ce sera l'ensemble des nombres réels.