$\mathbb D (0)$. Puissances d'un nombre rationnel. Nombres décimaux.

Dans cet article, nous définissons les puissances d'un nombre rationnel. 

Ensuite, nous nous intéressons aux nombres décimaux qui sont des nombres rationnels qui deviennent entiers lorsqu'ils sont multipliés par une puissance de 10 convenable. Ces nombres s'écrivent symplement et de manière unique à l'aide des 10 chiffres du système décimal.

Cet article fait partie d'une série (Construction des nombres : de $\mathbb N$ à $\mathbb C$) en cours de création au moment de la rédaction de cet article.

Quelques notations pour commencer.

Les premiers nombres entiers naturels

On connaît les entiers $0$ et $1$, zéro et un respectivement (voir $\mathbb N$ (1). Définition de l'ensemble des entiers naturels. Axiomes de Peano. Récurrence.)

On note :

• $2=1+1$ deux
• $3=2+1$ trois
• $4=3+1$ quatre
• $5=4+1$ cinq
• $6=5+1$ six
• $7=6+1$ sept
• $8=7+1$ huit
• $9=8+1$ neuf

Les symboles $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ sont appelés les chiffres du système décimal. 

Avec un abus de définition assumé, nous appellerons aussi chiffres les nombres désignés par les symboles $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$. Il n'y aura pas de confusion possible selon le contexte.

On note $10=9+1$ (le nombre dix).

Les puissances

On note $a^0=1$.

Pour $k$ entier naturel et $a$ entier relatif, on définit ensuite :

$$(P) \ \ \ \ a^{k+1}=a^k\times a$$

Cela permet de définir pour tout entier $n$ naturel, le nombre $a^n$ que l'on peut noter 

$$a^n=\underbrace{a\times a \times \ldots \times a}_{n \textrm{ facteurs}}$$

$a^n$ est appelé la puissance $n$-ième de $a$ ou encore $a$ exposant $n$.

Propriété 1. 

Soit un rationnel $a$.

a) Pour tous entiers naturels $n$ et $m$, on a

$$a^n\times a^m=a^{n+m}$$

b) Pour tous entiers naturels $m$ et $q$, tels que $m\leq q$ on a

$$\frac{a^q}{a^m}=a^{q-m}$$

c) Soit $b$ un autre rationnel et $n$ un entier naturel. On a 

$$(a\times b)^n=a^n\times b^n$$

 Preuve.

a) Le cas où $m=1$ est clair par la définition $(P)$. 

On fait ensuite une récurrence sur $m$ en utilisant l'associativité du produit dans $\mathbb Q$ : 

$$a^n\times a^{m+1}=a^n\times \left(a^{m}\times a\right)=\left(a^n \times a^m\right) \times a=a^{n+m}a=a^{n+m+1}$$

b) On pose $n=q-m$ et on applique le a). On obtient 

$a^{q-m}\times a^m=a^{q-m+m}=a^q$ d'où $\frac{a^q}{a^m}=a^{q-m}$.

c) Par récurrence. 

Pour $n=0$, il n'y a rien à montrer.

Supposons que pour un certain $n$, 

$$(a\times b)^n=a^n\times b^n$$

Alors

$$(a\times b)^{n+1}=(a\times b)^{n}\times a\times b=a^n\times b^n\times a\times b$$

On conclut grâce à l'associativité et à la commutativité de $\times$ que 

$$(a\times b)^{n+1}=a^n\times b^n\times a\times b=a^{n+1}\times b^{n+1}$$  

Tout nombre entier naturel peut s'écrire en utilisant les chiffres. On pourra consulter [Numération positionnelle $b$-adique]. 

Les entiers négatifs $-n$ où $n$ s'écrit $[c_t\ldots c_0]$ s'écrira alors $-n=-[c_t\ldots c_0]$.

Dans cet article et ceux qui s'y réfèrent, on utilisera plutôt les notations  $n=\underline{c_t\ldots c_0}$ et $-n=-\underline{c_t\ldots c_0}$.

Exemples.  

• $5\times 10^3+2\times 10+8=\underline{5028}$, et 
• $-4\times 10^2-10=-\underline{410}$

 

Nombres décimaux

Un nombre rationnel est dit décimal s'il peut être représenté par une fraction de la forme $$\frac{a}{10^r}$$ avec $a\in\mathbb Z$ et $r$ entier naturel. 

Ainsi en considérant les (nombres) décimaux pour lesquels $r=0$, on voit que tout entier relatif est un nombre décimal.

L'ensemble des nombres décimaux est noté $\mathbb D$.

Considérons un décimal $d=\frac{a}{10^r}$. Le nombre $10^r\times d$ est entier, car c'est $a$. 

L'ensemble des entiers $m$ tels que $10^m\times d$ est un sous-ensemble de $\mathbb N$ majoré par $r$. Il a un nombre fini d'éléments et possède donc un minimum. Pour un nombre décimal $d$ quelconque, nous noterons $\mu_d$ ce minimum.

Ainsi pour tout décimal $d$, $\mu_d \in\mathbb N$, et $10^k\times d\not \in \mathbb N$ si $0\leq k<\mu_d$.

Un nombre décimal $d$ est entier si et seulement si $\mu_d=0$.

Propriété 2.

Soit $d$ un nombre décimal positif ou nul qui n'est pas un entier. Alors il existe des chiffres $c_1,...,c_{\mu_d}$ tels qu'il existe une décomposition

$$(D)\ \ \ \ d=b+\frac{c_1}{10}+\ldots+\frac{c_{\mu_d}}{10^{\mu_d}}$$

avec $b\in \mathbb N$ et $c_{\mu_d}\neq 0$.

De plus $b,c_1,\ldots,c_{\mu_d}$ sont uniquement déterminés par $d$.

Autrement dit, s'il existe une autre décomposition 

$$d= b'+\frac{c'_1}{10}+\ldots+\frac{c'_{s}}{10^{s}}$$

avec $b'\in \mathbb N$ et $c'_{s}\neq 0$, alors 

$s=\mu_d$, $b=b'$ et pour tout $i$ compris entre $1$ et $\mu_d$, $c'_i=c_i$.

Preuve. 

a) Existence

Cas où $\mu_d=1$.

Dans ce cas, on pose $m=10\times d$. La division euclidienne de $m$ par $10$ donne : $m=10\times q + r$ avec $r<10$. Ainsi $r$ est un chiffre. Si $r=0$, $10q=10d$ puis $d=q$, ainsi $d$ serait un entier contredisant $\mu_d=1$. On a donc 

$$d=q+\frac{r}{10}$$

On a donc la décomposition souhaité avec $b=q$ et $c_1=r$.

Supposons que la propriété est vraie pour tout décimal $d$ avec $\mu_d= k$. Montrons qu'elle reste vraie pour tout $d'$ avec $\mu_{d'}=k+1$. 

On pose $d=10d'$. On a un entier $10^{k+1}d'=10^k\times 10\times d' =10^k\times d$. Donc $\mu_d\leq 10^k$.

Comme $10^{k-1}d=10^k d'$ n'est pas entier, on a même $\mu_d=k$.

D'après l'hypothèse de récurrence, 

il existe un entier $b$ et des chiffres $c_1,\ldots,c_{\mu_d}$ tels que 

$$d=b+\frac{c_1}{10}+\ldots+\frac{c_{k}}{10^{k}}$$

L'entier $b$ sera appelé partie entière de $d$ et les $c_i$ les chiffres décimaux.

Ainsi 

$$d'=\frac{d}{10}=\frac b {10}+\frac{c_1}{10^2}+\ldots+\frac{c_{k}}{10^{k+1}}$$

La division euclidienne de $b$ par $10$ donne $b=10b'+r'$, avec $r'<10$. Ainsi $\frac{b}{10}=b'+\frac{r'}{10}$

En notant $c'_1=r'$, $c'_2=c_1$, $\ldots$, $c'_{k+1}=c_k$, on a 

$$d'= b+\frac{c'_1}{10}+\ldots+\frac{c'_{k+1}}{10^{k+1}}$$

prouvant par récurrence l'existence de la décomposition annoncée.

b) Unicité

Montrons maintenant l'unicité d'une telle décomposition.

Supposons que 

$$d=b+\frac{c_1}{10}+\ldots+\frac{c_{\mu_d}}{10^{\mu_d}}= b'+\frac{c'_1}{10}+\ldots+\frac{c'_{s}}{10^{s}}$$

Tout d'abord $\mu_d=s$. En effet $10^{s}\times d$ est entier puisque (utiliser la propriété 1 b))

$$10^{s}\times d=b'\times 10^{s}+c'_1\times 10^{s-1}+\ldots +c'_s$$

De plus 

$$10^{s-1}\times d =\frac{b'\times 10^{s}}{10}+\frac{c'_1\times 10^{s-1}}{10}+\ldots +\frac{c'_s}{10}$$  

Dans le membre de droite, tous les termes, sauf le dernier sont de la forme $\frac{u \times 10^{s-j}}{10}$ avec $u$ entier et $j$ entier tel que $0\leq j \leq s-1$. Pour de tels $j$, $\frac{10^{s-j}}{10}$ est entier, et donc $\frac{u \times 10^{s-j}}{10}$ est entier. Ainsi, si l'on note $v$ la somme des ces termes, on a 

$$10^{s-1}\times d =v+\frac{c'_s}{10}$$

d'où  

$$10^{s-1}\times d -v=\frac{c'_s}{10}$$

Si $10^{s-1}\times d$ était entier, alors $\frac{c'_s}{10}$ serait aussi entier comme somme de deux entiers, contredisant le fait que $c_s$ est un nombre entier non nul strictement inférieur à $10$ (si $n$ n'est pas nul alors si $n$ est un multiple positif de $10$, $n\geq 10$).

Ainsi $10^{s-1}\times d$ n'est pas entier $s=\mu_d$.

Pour tout entier $j$ tel q $0\leq j$

Puisque $s\geq 1$, $\frac{b'\times 10^{s}}{10}=b'\times 10^{s-1}$ est entier. Ainsi $10^{s-1}\times d-\frac{b'\times 10^{s}}{10}$ est entier

Comme $c'_{k'}$ est non nul, $10^{k'-1}\times d -b''$ n'est pas entier et donc $10^{k'-1}\times d$ non plus. Ainsi $k'=\mu_d$.

Pour continuer à montrer l'unicité, on peut encore faire une récurrence.

Si $\mu_d=1$, alors $d=b+\frac{c_1}{10}=b'+\frac{c'_1}{10}$ implique

$$d=10b+c_1=10b'+c'_1$$

Ainsi par unicité du quotient et du reste dans la division euclidienne, $b=b'$ et $c_1=c'_1$.

Supposons l'unicité de la partie entière et des chiffres décimaux pour tout $d$ tel que $\mu_d\leq k$ pour un certain $k$.

Supposons que 

$$d=b+\frac{c_1}{10}+\ldots+\frac{c_{k}}{10^{k}}+\frac{c_{k+1}}{10^{k+1}}=b'+\frac{c'_1}{10}+\ldots+\frac{c'_{k}}{10^{k}}+\frac{c'_{k+1}}{10^{k+1}}$$

En multipliant par $10$ chaque membre de cette égalité, on obtient 

$$10d=(10b+c_1)+\ldots+\frac{c_{k}}{10^{k-1}}+\frac{c_{k+1}}{10^{k}}=(b'+c'_1)+\ldots+\frac{c'_{k}}{10^{k}}+\frac{c'_{k+1}}{10^{k}}$$

Ainsi d'après l'hypothèse de récurrence, on a l'égalité des parties entières $10b+c_1=10b'+c'1$ ainsi que celles des chiffres décimaux $c_j=c'_j$ pour $j>1$. Enfin comme dans le cas $\mu_1=1$, la division euclidienne  $10b+c_1=10b'+c'1$ implique $b=b'$ et $c_1=c'_1$.

L'unicité de la partie entière et des chiffres est donc prouvée par récurrence.

Soit $d$ un nombre décimal non entier de partie entière $n$. La représentation décimale de de $n$ étant $[c_t\ldots c_0]$ et les chiffres décimaux étant les $c_{-i}$ tels que 

$$d=n+\frac{c_{-1}}{10}+\ldots+\frac{c_{-\mu_d}}{10^{\mu_d}}$$

on note $d$ sous la forme $\underline{c_t\ldots c_0,c_{-1}\ldots c_{-\mu_d}}$

Exemple.

• $5\times 10^3 + 4 +\frac{2}{10}+\frac{5}{10^3}=\underline{5004,205}$
• $-2\times 10^2-\frac{7}{10}=-\underline{200,7}$

Comme nous l'avons déjà noté plus haut, dans la suite, on écrira simplement $10$ au lieu de $\underline{10}$ sauf mention explicite du contraire.

C'est la représentation décimale de $d$.

Propriété 3. 

Un nombre rationnel $r$ est décimal si et seulement s'il existe un entier $a$, et deux entiers naturel $m$ et $q$ tels que 

$$r=\frac{a}{2^m\times 5^q}$$

Lemme. 

$10=2\times 5$. 

Preuve du lemme. 

$2\times 5=5+5=5+1+1+1+1+1=9+1=10$.

Preuve de la propriété 3. 

Si $r$ est décimal, alors $r=\frac{a}{10^t}$. Puisque $10^t=(5\times 2)^t=2^t\times 5^t$ (propriété 1.c) ) on a le résultat souhaité.

Réciproquement $r=\frac{a\times 2^q\times 5^m}{10^{m+q}}$.

Propriété 4. 

Un nombre rationnel $r=\frac a b$, avec $a$ et $b$ premiers entre eux ($pgcd(a,b)=1$) est décimal si et seulement si $b=2^m \times 5^q$.

Preuve de la propriété 4. 

Si $r$ est décimal, alors $r=\frac{a}{10^t}$. Puisque $10^t=(5\times 2)^t=2^t\times 5^t$ (propriété 1.c) ) on a le résultat souhaité.

Réciproquement $r=\frac{a\times 2^q\times 5^m}{10^{m+q}}$.

Et ensuite

Dans un prochain article, je m'intéresserait aux développement décimaux illimités.