Dans cet article, nous définissons les puissances d'un nombre rationnel.
Ensuite, nous nous intéressons aux nombres décimaux qui sont des nombres rationnels qui deviennent entiers lorsqu'ils sont multipliés par une puissance de 10 convenable. Ces nombres s'écrivent symplement et de manière unique à l'aide des 10 chiffres du système décimal.
Cet article fait partie d'une série (Construction des nombres : de \mathbb N à \mathbb C ) en cours de création au moment de la rédaction de cet article.
Quelques notations pour commencer.
Les premiers nombres entiers naturels
On connaît les entiers 0 et 1, zéro et un respectivement (voir \mathbb N (1). Définition de l'ensemble des entiers naturels. Axiomes de Peano. Récurrence.)
On note :
- 2=1+1 deux
- 3=2+1 trois
- 4=3+1 quatre
- 5=4+1 cinq
- 6=5+1 six
- 7=6+1 sept
- 8=7+1 huit
- 9=8+1 neuf
Les symboles 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 sont appelés les chiffres du système décimal.
Avec un abus de définition assumé, nous appellerons aussi chiffres les nombres désignés par les symboles 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Il n'y aura pas de confusion possible selon le contexte.
On note 10=9+1 (le nombre dix).
Les puissances
On note a^0=1.
Pour k entier naturel et a entier relatif, on définit ensuite :
(P) \ \ \ \ a^{k+1}=a^k\times a
Cela permet de définir pour tout entier n naturel, le nombre a^n que l'on peut noter
a^n=\underbrace{a\times a \times \ldots \times a}_{n \textrm{ facteurs}}
a^n est appelé la puissance n-ième de a ou encore a exposant n.
Propriété 1.
Soit un rationnel a.
a) Pour tous entiers naturels n et m, on a
a^n\times a^m=a^{n+m}
b) Pour tous entiers naturels m et q, tels que m\leq q on a
\frac{a^q}{a^m}=a^{q-m}
c) Soit b un autre rationnel et n un entier naturel. On a
(a\times b)^n=a^n\times b^n
Preuve.
a) Le cas où m=1 est clair par la définition (P).
On fait ensuite une récurrence sur m en utilisant l'associativité du produit dans \mathbb Q :
a^n\times a^{m+1}=a^n\times \left(a^{m}\times a\right)=\left(a^n \times a^m\right) \times a=a^{n+m}a=a^{n+m+1}
b) On pose n=q-m et on applique le a). On obtient
a^{q-m}\times a^m=a^{q-m+m}=a^q d'où \frac{a^q}{a^m}=a^{q-m}.
c) Par récurrence.
Pour n=0, il n'y a rien à montrer.
Supposons que pour un certain n,
(a\times b)^n=a^n\times b^n
Alors
(a\times b)^{n+1}=(a\times b)^{n}\times a\times b=a^n\times b^n\times a\times b
On conclut grâce à l'associativité et à la commutativité de \times que
(a\times b)^{n+1}=a^n\times b^n\times a\times b=a^{n+1}\times b^{n+1}
Tout nombre entier naturel peut s'écrire en utilisant les chiffres. On pourra consulter [Numération positionnelle b-adique].
Les entiers négatifs -n où n s'écrit [c_t\ldots c_0] s'écrira alors -n=-[c_t\ldots c_0].
Dans cet article et ceux qui s'y réfèrent, on utilisera plutôt les notations n=\underline{c_t\ldots c_0} et -n=-\underline{c_t\ldots c_0} .
Exemples.
- 5\times 10^3+2\times 10+8=\underline{5028}, et
- -4\times 10^2-10=-\underline{410}
Nombres décimaux
Un nombre rationnel est dit décimal s'il peut être représenté par une fraction de la forme \frac{a}{10^r}
Ainsi en considérant les (nombres) décimaux pour lesquels r=0, on voit que tout entier relatif est un nombre décimal.
L'ensemble des nombres décimaux est noté \mathbb D.
Considérons un décimal d=\frac{a}{10^r}. Le nombre 10^r\times d est entier, car c'est a.
L'ensemble des entiers m tels que 10^m\times d est un sous-ensemble de \mathbb N majoré par r. Il a un nombre fini d'éléments et possède donc un minimum. Pour un nombre décimal d quelconque, nous noterons \mu_d ce minimum.
Ainsi pour tout décimal d, \mu_d \in\mathbb N, et 10^k\times d\not \in \mathbb N si 0\leq k<\mu_d.
Un nombre décimal d est entier si et seulement si \mu_d=0.
Propriété 2.
Soit d un nombre décimal positif ou nul qui n'est pas un entier. Alors il existe des chiffres c_1,...,c_{\mu_d} tels qu'il existe une décomposition
(D)\ \ \ \ d=b+\frac{c_1}{10}+\ldots+\frac{c_{\mu_d}}{10^{\mu_d}}
avec b\in \mathbb N et c_{\mu_d}\neq 0.
De plus b,c_1,\ldots,c_{\mu_d} sont uniquement déterminés par d.
Autrement dit, s'il existe une autre décomposition
d= b'+\frac{c'_1}{10}+\ldots+\frac{c'_{s}}{10^{s}}
avec b'\in \mathbb N et c'_{s}\neq 0, alors
s=\mu_d, b=b' et pour tout i compris entre 1 et \mu_d, c'_i=c_i.
Preuve.
a) Existence
Cas où \mu_d=1.
Dans ce cas, on pose m=10\times d. La division euclidienne de m par 10 donne : m=10\times q + r avec r<10. Ainsi r est un chiffre. Si r=0, 10q=10d puis d=q, ainsi d serait un entier contredisant \mu_d=1. On a donc
d=q+\frac{r}{10}
On a donc la décomposition souhaité avec b=q et c_1=r.
Supposons que la propriété est vraie pour tout décimal d avec \mu_d= k. Montrons qu'elle reste vraie pour tout d' avec \mu_{d'}=k+1.
On pose d=10d'. On a un entier 10^{k+1}d'=10^k\times 10\times d' =10^k\times d. Donc \mu_d\leq 10^k.
Comme 10^{k-1}d=10^k d' n'est pas entier, on a même \mu_d=k.
D'après l'hypothèse de récurrence,
il existe un entier b et des chiffres c_1,\ldots,c_{\mu_d} tels que
d=b+\frac{c_1}{10}+\ldots+\frac{c_{k}}{10^{k}}
L'entier b sera appelé partie entière de d et les c_i les chiffres décimaux.
Ainsi
d'=\frac{d}{10}=\frac b {10}+\frac{c_1}{10^2}+\ldots+\frac{c_{k}}{10^{k+1}}
La division euclidienne de b par 10 donne b=10b'+r', avec r'<10. Ainsi \frac{b}{10}=b'+\frac{r'}{10}
En notant c'_1=r', c'_2=c_1, \ldots, c'_{k+1}=c_k, on a
d'= b+\frac{c'_1}{10}+\ldots+\frac{c'_{k+1}}{10^{k+1}}
prouvant par récurrence l'existence de la décomposition annoncée.
b) Unicité
Montrons maintenant l'unicité d'une telle décomposition.
Supposons que
d=b+\frac{c_1}{10}+\ldots+\frac{c_{\mu_d}}{10^{\mu_d}}= b'+\frac{c'_1}{10}+\ldots+\frac{c'_{s}}{10^{s}}
Tout d'abord \mu_d=s. En effet 10^{s}\times d est entier puisque (utiliser la propriété 1 b))
10^{s}\times d=b'\times 10^{s}+c'_1\times 10^{s-1}+\ldots +c'_s
De plus
10^{s-1}\times d =\frac{b'\times 10^{s}}{10}+\frac{c'_1\times 10^{s-1}}{10}+\ldots +\frac{c'_s}{10}
Dans le membre de droite, tous les termes, sauf le dernier sont de la forme \frac{u \times 10^{s-j}}{10} avec u entier et j entier tel que 0\leq j \leq s-1 . Pour de tels j, \frac{10^{s-j}}{10} est entier, et donc \frac{u \times 10^{s-j}}{10} est entier. Ainsi, si l'on note v la somme des ces termes, on a
10^{s-1}\times d =v+\frac{c'_s}{10}
d'où
10^{s-1}\times d -v=\frac{c'_s}{10}
Si 10^{s-1}\times d était entier, alors \frac{c'_s}{10} serait aussi entier comme somme de deux entiers, contredisant le fait que c_s est un nombre entier non nul strictement inférieur à 10 (si n n'est pas nul alors si n est un multiple positif de 10, n\geq 10).
Ainsi 10^{s-1}\times d n'est pas entier s=\mu_d.
Pour tout entier j tel q 0\leq j
Puisque s\geq 1, \frac{b'\times 10^{s}}{10}=b'\times 10^{s-1} est entier. Ainsi 10^{s-1}\times d-\frac{b'\times 10^{s}}{10} est entier
Comme c'_{k'} est non nul, 10^{k'-1}\times d -b'' n'est pas entier et donc 10^{k'-1}\times d non plus. Ainsi k'=\mu_d.
Pour continuer à montrer l'unicité, on peut encore faire une récurrence.
Si \mu_d=1, alors d=b+\frac{c_1}{10}=b'+\frac{c'_1}{10} implique
d=10b+c_1=10b'+c'_1
Ainsi par unicité du quotient et du reste dans la division euclidienne, b=b' et c_1=c'_1.
Supposons l'unicité de la partie entière et des chiffres décimaux pour tout d tel que \mu_d\leq k pour un certain k.
Supposons que
d=b+\frac{c_1}{10}+\ldots+\frac{c_{k}}{10^{k}}+\frac{c_{k+1}}{10^{k+1}}=b'+\frac{c'_1}{10}+\ldots+\frac{c'_{k}}{10^{k}}+\frac{c'_{k+1}}{10^{k+1}}
En multipliant par 10 chaque membre de cette égalité, on obtient
10d=(10b+c_1)+\ldots+\frac{c_{k}}{10^{k-1}}+\frac{c_{k+1}}{10^{k}}=(b'+c'_1)+\ldots+\frac{c'_{k}}{10^{k}}+\frac{c'_{k+1}}{10^{k}}
Ainsi d'après l'hypothèse de récurrence, on a l'égalité des parties entières 10b+c_1=10b'+c'1 ainsi que celles des chiffres décimaux c_j=c'_j pour j>1. Enfin comme dans le cas \mu_1=1, la division euclidienne 10b+c_1=10b'+c'1 implique b=b' et c_1=c'_1.
L'unicité de la partie entière et des chiffres est donc prouvée par récurrence.
Soit d un nombre décimal non entier de partie entière n. La représentation décimale de de n étant [c_t\ldots c_0] et les chiffres décimaux étant les c_{-i} tels que
d=n+\frac{c_{-1}}{10}+\ldots+\frac{c_{-\mu_d}}{10^{\mu_d}}
on note d sous la forme \underline{c_t\ldots c_0,c_{-1}\ldots c_{-\mu_d}}
Exemple.
- 5\times 10^3 + 4 +\frac{2}{10}+\frac{5}{10^3}=\underline{5004,205}
- -2\times 10^2-\frac{7}{10}=-\underline{200,7}
Comme nous l'avons déjà noté plus haut, dans la suite, on écrira simplement 10 au lieu de \underline{10} sauf mention explicite du contraire.
C'est la représentation décimale de d.
Propriété 3.
Un nombre rationnel r est décimal si et seulement s'il existe un entier a, et deux entiers naturel m et q tels que
r=\frac{a}{2^m\times 5^q}
Lemme.
10=2\times 5.
Preuve du lemme.
2\times 5=5+5=5+1+1+1+1+1=9+1=10.
Preuve de la propriété 3.
Si r est décimal, alors r=\frac{a}{10^t}. Puisque 10^t=(5\times 2)^t=2^t\times 5^t (propriété 1.c) ) on a le résultat souhaité.
Réciproquement r=\frac{a\times 2^q\times 5^m}{10^{m+q}}.
Propriété 4.
Un nombre rationnel r=\frac a b, avec a et b premiers entre eux (pgcd(a,b)=1) est décimal si et seulement si b=2^m \times 5^q.
Preuve de la propriété 4.
Si r est décimal, alors r=\frac{a}{10^t}. Puisque 10^t=(5\times 2)^t=2^t\times 5^t (propriété 1.c) ) on a le résultat souhaité.
Réciproquement r=\frac{a\times 2^q\times 5^m}{10^{m+q}}.
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