Suites arithmético-géométriques (4) : encore une autre façon de trouver le terme général et sommes des termes

 Cette artcile fait suite à ces différents articles sur les suites arithmético-géométriques :

• (1) Définitions et exemple
• (2) Etude complète d'un exemple
• (3) Créer des exercices sur les suites arithmético-géométriques

Soit $(u_n)$ une suite arithmético-géométrique. Alors par définition il existe $a,b,c$ tels que 

$$(\star) \ \ \left\{\begin{array}{rclr}u_0&=&c\\u_{n+1}&=&au_n+b& (n\in\mathbb N)\\ \end{array}\right.$$

Encore une façon de trouver la somme des termes

On remarque que l'on a de proche en proche

$$\begin{array}{rclclclcl} u_1&=&au_0+b& & \\ u_2&=&au_1+b&= &a(au_0+b)+b&=&a^2u_0+ab+b&=&a^2u_0+(a+1)b \\ u_3&=&au_2+b&=&a(a^2u_0+ab+b)+b&=&a^3u_0+a^2b+ab+b&=&a^3u_0+(a^2+a+1)b \end{array}$$

Il semble ainsi que l'on a pour tout entier naturel $n$ : 

$$(\mathcal P_n)\ : \ u_n=a^nu_0+\left(a^{n-1}+\ldots+a+1\right)b$$

Cette propriété est initialisée car on a $(\mathcal P_0)$. 

Supposons que pour un certain entier naturel $n$ : $u_n=a^nu_0+\left(a^{n-1}+\ldots+a+1\right)b$.

Alors 

$$u_{n+1}=a\left(a^nu_0+\left(a^{n-1}+\ldots+a+1\right)b \right)+b=a^{n+1}u_0+a\left(a^{n-1}+\ldots+a+1\right)b+b$$

c'est-à-dire

$$u_{n+1}=a^{n+1}u_0+\left(a^{n}+\ldots+a+1\right)b$$

cette dernière égalité étant $(\mathcal P_{n+1})$.

Ainsi la famille de propriétés $(\mathcal P_n)$ est héréditaire. 

On a donc démontré par récurrence que pour tout $n$, 

$$u_n=a^nu_0+\left(a^{n-1}+\ldots+a+1\right)b$$

Pour résumer, en distinuant le cas où $a\neq 1$ et le cas où $a=1$, nous avons la propriété

Propriété 1.

•    Si $n\neq 1$, alors $u_n=u_0a^n+b\frac{1-a^n}{1-a}$

•     Si $n=1$, alors $u_n=a+nb$

Démonstration. 

Le cas $n\neq 1$ s'obtient en utilisant le résultat sur la somme des termes d'une suite géométrique.

Le cas où $n=1$, s'obtient simplement en remplaçant $a$ par 1 dans l'égalité $(\mathcal P_n)$.

Somme des termes

Soit $(u_n)$ une suite arithmético-géométrique. 

Alors par définition il existe $a,b,c$ tels que 

$$(\star) \ \ \left\{\begin{array}{rclr}u_0&=&c\\u_{n+1}&=&au_n+b& (n\in\mathbb N)\\ \end{array}\right.$$

Supposons que $a\neq 1$. On a vu juste au-dessus que pour tout $n$ : $u_n=ca^n+b\frac{1-a^n}{1-a}$, où $c=u_0$. On a donc

$$u_0+u_1+u_2+\ldots+u_n=c+(ca+b)+\left(ca^2+b\frac{1-a^2}{1-a}\right)+\ldots+\left(ca^n+b\left(1+a+\ldots+a^n\right)\right) $$

Ainsi

$$u_0+u_1+u_2+\ldots+u_n=c\left(1+a+\ldots+a^n\right)+\frac{b}{1-a}\left(1+1+\ldots+1-\left(1+a+\ldots+a^n\right)\right)$$

Donc

$$u_0+u_1+u_2+\ldots+u_n=c\left(1+a+\ldots+a^n\right)+\frac{b}{1-a}\left(\underbrace{1+1+\ldots+1}_{(n+1)\ \mathrm{termes}}-\left(1+a+\ldots+a^n\right)\right)$$

On a donc en notant $s=\frac{b}{1-a}$,

$$u_0+u_1+u_2+\ldots+u_n=c\left(1+a+\ldots+a^n\right)+s\left(\underbrace{1+1+\ldots+1}_{(n+1)\ \mathrm{termes}}-(1+a+\ldots+a^n)\right)$$

$$u_0+u_1+u_2+\ldots+u_n=(c-s)\left(1+a+\ldots+a^n\right)+s(n+1)$$

$$u_0+u_1+u_2+\ldots+u_n=(c-s)\frac{1-a^{n+1}}{1-a}+s(n+1)$$

Si $a=1$, on est dans le cas d'une suite arithmétique.