Spécialité Maths - (Première/Terminale). Exercice 4 - solution

 Voici un exercice niveau 1ère/Teminale de la spécialité mathématique.

Des versions téléchargebles (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.  

Thème. Suites, suites géométriques.

Niveau 1ère/Teminale de la spécialité mathématique.

Exercice 4.

Le but de cet exercice est de trouver le terme général de la suite

$$\left\{\begin{array}{rclr} u_0&=&2 \\ u_{n+1}&=&5u_n-3\times 2^n & (n\in\mathbb N) \\  \end{array}  \right.$$

 

1.   La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? géométrique ?
2.  Soit $(t_n)$ une suite telle que $t_n=k2^n$, où $k$ est un nombre réel.
   (2.a) Déterminer la valeur de $k$ pour que pour tout entier naturel $n$ $t_{n+1}=5t_n-3\times 2^n$. On pose $(w_n)$ la suite définie pour tout $n\in\mathbb N$ par $w_n=u_n-t_n$.
   (2.b) Quelle est la nature de $(w_n)$ ?  
3. En déduire le terme général de $(u_n)$.
   Vérifier la cohérence du résultat obtenu.

 

La solution

 

 1. On peut commencer par calculer les premiers termes de la suite $(u_n)$.

 On a

•   $u_1=5u_0-3\times 2^{0}=5\times 2 - 3=7$
•  $u_2=5u_1-3\times 2^1=5\times 7 -3\times 2 = 29$

 

 On a $u_1-u_0= 7-2=5$ et $u_2-u_1=29-7=22$ donc $(u_n)$ n'est pas arithmétique.

 On a $\frac{u_1}{u_0}=\frac{5}{2}$ et $\frac{u_2}{u_1}=\frac{29}{7}$ donc $(u_n)$ n'est pas géométrique ($\frac 5 2 \neq \frac {29}{7}$ puisque $2\times 29 \neq 5\times 7$).

 

2.(a). Soit $n\in \mathbb N$. On a

  $$t_{n+1}=5t_n-3\times 2^n\Longleftrightarrow k\times 2^{n+1}=5k\times 2^n -3\times 2^n \Longleftrightarrow 2k=5k-3 \Longleftrightarrow 3=3k \Longleftrightarrow k=1$$

 Ainsi la suite  $(t_n)$ définie par $t_n=2^n$ vérifie pour tout $n$ : $t_{n+1}=5t_n-3\times 2^n$.

2.(b).On pose  pour tout $n\in\mathbb N$, $w_n=u_n-t_n=u_n-2^n$.

•  $w_0=u_0-2^0=2-1=1$
•  $w_1=u_1-2^1=7-2=5$
•  $w_2=u_2-2^2=29-4=25$

Il semblerait que $(w_n)$ soit une suite géométrique de raison $5$.

Exprimons pour un entier naturel $n$ quelconque $w_{n+1}$ en fonction de $w_n$ :

$$w_{n+1}=u_{n+1}-t_{n+1}=5u_n-3\times 2^n-(5t_n-3\times 2^n) =5(u_n-t_n)=5w_n$$

On a bien une suite géométrique $(w_n)$ de raison $5$ et de terme initial $w_0=1$.

3. D'après la question précédente, pour tout entier naturel $n$, $w_n=5^n$.

Comme pour tout entier naturel $n$, on a $w_n=u_n-t_n$, on en déduit que $w_n+t_n=u_n$.

Ainsi pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=5^n+2^n$.

D'après cette formule : $u_0=1+1=2$, $u_1=5+2=7$, $u_2=25+4=29$ ce qui correspond bien aux calculs déjà effectués.

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L'énoncé

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La solution

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