Voici un exercice niveau 1ère/Teminale de la spécialité mathématique.
Des versions téléchargebles (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.
Thème. Suites, suites géométriques.
Niveau 1ère/Teminale de la spécialité mathématique.
Exercice 4.
Le but de cet exercice est de trouver le terme général de la suite
$$\left\{\begin{array}{rclr} u_0&=&2 \\ u_{n+1}&=&5u_n-3\times 2^n & (n\in\mathbb N) \\ \end{array} \right. $$
- La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? géométrique ?
- Soit $(t_n)$ une suite telle que $t_n=k2^n$, où $k$ est un nombre réel.
(2.a) Déterminer la valeur de $k$ pour que pour tout entier naturel $n$ $t_{n+1}=5t_n-3\times 2^n$. On pose $(w_n)$ la suite définie pour tout $n\in\mathbb N$ par $w_n=u_n-t_n$.
(2.b) Quelle est la nature de $(w_n) $ ? - En déduire le terme général de $(u_n)$.
Vérifier la cohérence du résultat obtenu.
La solution
1. On peut commencer par calculer les premiers termes de la suite $(u_n)$.
On a
- $u_1=5u_0-3\times 2^{0}=5\times 2 - 3=7 $
- $u_2=5u_1-3\times 2^1=5\times 7 -3\times 2 = 29 $
On a $u_1-u_0= 7-2=5$ et $u_2-u_1=29-7=22 $ donc $(u_n)$ n'est pas arithmétique.
On a $\frac{u_1}{u_0}=\frac{5}{2}$ et $\frac{u_2}{u_1}=\frac{29}{7}$ donc $(u_n)$ n'est pas géométrique ($\frac 5 2 \neq \frac {29}{7} $ puisque $2\times 29 \neq 5\times 7 $).
2.(a). Soit $n\in \mathbb N$. On a
$$t_{n+1}=5t_n-3\times 2^n\Longleftrightarrow k\times 2^{n+1}=5k\times 2^n -3\times 2^n \Longleftrightarrow 2k=5k-3 \Longleftrightarrow 3=3k \Longleftrightarrow k=1 $$
Ainsi la suite $(t_n)$ définie par $t_n=2^n $ vérifie pour tout $n$ : $t_{n+1}=5t_n-3\times 2^n $.
2.(b).On pose pour tout $n\in\mathbb N$, $w_n=u_n-t_n=u_n-2^n$.
- $w_0=u_0-2^0=2-1=1 $
- $w_1=u_1-2^1=7-2=5 $
- $w_2=u_2-2^2=29-4=25$
Il semblerait que $(w_n)$ soit une suite géométrique de raison $5$.
Exprimons pour un entier naturel $n$ quelconque $w_{n+1}$ en fonction de $w_n$ :
$$w_{n+1}=u_{n+1}-t_{n+1}=5u_n-3\times 2^n-(5t_n-3\times 2^n) =5(u_n-t_n)=5w_n$$
On a bien une suite géométrique $(w_n)$ de raison $5$ et de terme initial $w_0=1$.
3. D'après la question précédente, pour tout entier naturel $n$, $w_n=5^n$.
Comme pour tout entier naturel $n$, on a $w_n=u_n-t_n $, on en déduit que $w_n+t_n=u_n $.
Ainsi pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=5^n+2^n$.
D'après cette formule : $u_0=1+1=2$, $u_1=5+2=7$, $u_2=25+4=29 $ ce qui correspond bien aux calculs déjà effectués.
La solution
D'autres exercices
Je compte publier chaque dimanche un nouvel exercice niveau Première ou Terminale de la spécialité maths.
En attendant, voici la page regroupant tous les exercices du dimanche.
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