Continuité d'une fonction réelle sur un intervalle
Cet article fait suite à Continuité d'une fonction réelle en un point.
Continuité sur $I$
On dit qu'une fonction est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en tout point $x\in I$.
La continuité est une propriété locale. Autrement dit, montrer un résultat de continuité revient à le montrer en chaque point.
Exemple 1.
Par exemple les fonctions affines $x\mapsto ax+b$ définies sur $I=\mathbb R$, sont continues sur $\mathbb R$.
Démonstration.
Soit $t$ un nombre réel. On va montrer que $f$ définie par $f(x)=ax+b$ est continue en $t$.
On note pour tout réel $x$, $d(x)=|f(x)-f(t)|=|a(x-t)|$.
- Si $a=0$, $d(x)=0$.
- Si $a\neq 0$, alors $d(x)\leq \varepsilon \Longleftrightarrow |x-t|\leq \frac{\varepsilon}{|a|} $.
Soit $\varepsilon>0$. D'après ce qui précède, prendre $x$ tel que $\delta=\frac{\varepsilon}{|a|}$ implique dans tous les cas que $|f(x)-f(t)|\varepsilon$.
On en déduit que pour tout $t$, $f$ est continue en $t$. $f$ est donc une fonction continue sur $\mathbb R$.
Exemple 2.
La fonction valeur absolue $\left| \cdot \right|$ est continue sur $\mathbb R$.
Preuve.
La fonction est définie comme suit :
$$|x|=\left\{\begin{array}{rcl} -x &\textrm{si} & x<0 \\ 0 &\textrm{si} & x=0 \\ x &\textrm{si} & x>0 \\ \end{array}\right.$$
Cette fonction est polynomiale pour $x<0$ et pour $x>0$. Elle est donc continue en tout $t\neq 0$. Elle est aussi continue en $0$ comme nous l'avions vu au-dessus donc elle est continue sur $\mathbb R$.
Propriété 2.
Si $f$ et $g$ sont continues sur un intervalle $I$, alors leur somme $f+g$ et leur produit $fg$ sont continues sur $I$.
Démonstration.
D'après la propriété 1 de [Continuité d'une fonction réelle en un point], pour tout point de $I$, $f+g$ et $fg$ sont continues en $I$.
Propriété 3.
Les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb R$.
Preuve.
Tout d'abord d'après l'exemple 3, la fonction $x\longmapsto x$ est continue.
Ainsi un raisonnement par récurrence, montre à l'aide de la propriété 2 (produit) , que pour tout entier naturel $i$, $x\longmapsto x^i$ est continue.
D'après l'exemple 3, pour tout réel $c_i$, $x\longmapsto c_i$ est continue sur $\mathbb R$, donc d'après la propriété 2, pour tout réel $c_i$, et pour tout entier naturel $i$, $x\longmapsto c_i x^i$ est continue sur $\mathbb R$.
Ainsi par récurrence, on en déduit, en utilisant la propriété 2 (somme de deux fonctions) que toute fonction polynomiale $x\longmapsto \sum_{i=0}^n c_i x^i$ est continue sur $\mathbb R$.
Composée de fonctions continues
Si $f:E \longrightarrow E'$, on note $f(E)=\left\{f(x), x\in E \right\}$.
$f(E)$ est appelée l'image directe de $f$.
Si $g:F\longrightarrow F'$ avec $f(E)\subset F$, alors, on peut définir la fonction composée $g\circ f:E\longrightarrow F'$ par $g\circ f : x \longmapsto g(f(x)) $.
Propriété 4.
Soient $I\subset \mathbb R$, et $J\subset \mathbb R$ deux intervalles.
Soient $f:I\longrightarrow \mathbb R$ et $g:J\longrightarrow \mathbb R$
deux fonctions continues, avec $f(I)\subset I$.
Alors $g\circ f$ est continue.
Preuve.
Soit $t\in \mathbb R$, il suffit de montrer que $g\circ f$ est continue en $t$.
Quelque soient $\varepsilon_1,\varepsilon_2>0$, comme $f$ et $g$ sont continues respectivement en $t$ et en $f(t)$, il existe $\alpha>0$ et $\beta>0$ tels que
$|x-t|\leq \alpha implique $|f(x)-f(t)|<\varepsilon_1$ et
$|y-f(t)|\leq \beta$ implique $|g(y)-g(f(t))|< \varepsilon_2 $.
Soit $\varepsilon>0$. On prend $\varepsilon_2=\varepsilon$, puis $\varepsilon_1=\beta$.
Ainsi, on a pour tout $x$ tel que $|x-t|\leq \alpha$,
$$|f(x)-f(t)|<\beta$$
d'où
$$|g(f(x))-g(f(t))|< \varepsilon $$
La continuité de $g\circ f$ est donc prouvée.
Exemple 3.
La fonction $x\longmapsto | x^2-1|$ définie sur $\mathbb R$ est continue. En effet, c'est la composée de la fonction polynomiale $x\longmapsto x^-1$ et de la fonction valeur absolue $| \cdot|$ (voir article prec_1).
Cas de la fonction inverse et inverse d'une fonction
Propriété 5.
La fonction $x\longmapsto \frac{1}{x}$ est continue sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$.
Démonstration.
(1) On commence par montrer la continuité de $x\longmapsto \frac{1}{x}$ sur $]0;+infty[$.
Soit $t>0$. Nous allons montrer que la fonction $x\longmapsto \frac{1}{x}$ est continue en $t$.
Pour $x>0$, on note
$$ d(x,t)=\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{t}\right| = \left| \frac{t-x}{tx}\right|=\frac{\left|t-x \right|}{tx}$$
Si $\left|t-x \right|\leq \frac{t}{2}$, on a $-\frac t 2\leq x-t\leq \frac t 2$ d'où en particulier $0<\frac t 2\leq x $. Comme la fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$, on en déduit que $\frac 1 x\leq \frac 2 t$. Dans ce cas, on obtient
$$ d(x,t)=\frac{\left|t-x \right|}{tx}\leq |t-x|\cdot \frac{2}{t^2} $$
Soit $\varepsilon>0$.
Soit $\delta=\min\left(\frac t 2,\frac{\varepsilon t^2}{2} \right)$ et
soit $x$ tel que $|t-x|\leq \delta$.
On a alors $d(x,t)\leq |t-x|\cdot \frac{2}{t^2}\leq \frac{\varepsilon t^2}{2}\cdot \frac{2}{t^2}=\varepsilon$.
La fonction $x\longmapsto \frac{1}{x}$ est donc continue sur $]0;+\infty[$.
(2) Notons $f$ la fonction $x\longmapsto \frac{1}{x}$ sur $]0;+infty[$.
Soit $h$ la fonction définie sur $]-\infty;0[$ par $h(x)=f(-x)=\frac{1}{-x}$.
$h$ est donc la composée de la fonction continue $x\longmapsto -x$ définie sur $]-\infty;0[$ par $f$ (continue d'après (1)). C'est donc une fonction continue.
Notons $u$ la fonction définie sur $]-\infty;0[$ par $u(x)=-h(x)=-f(-x)=-\frac{1}{-x}=\frac 1 x$.
$u$ est la composée de la fonction $h$ par la fonction $x\longmapsto -x$ définie sur $]0;+\infty[$. Elle est donc continue.
La fonction $x\longmapsto \frac{1}{x}$ est bien continue sur $]-\infty;0[$.
Puisque la définition de continuité est de nature locale, on peut dire que $f$ est continue sur un ensemble $E$ (pas nécessairement un intervalle) lorsque $f$ est continue en tout point $t$ de $E$.
Propriété 6.
Soit $f:I\longrightarrow \mathbb R$, où $I$ est un intervalle.
On suppose que $f$ ne s'annule pas et que $f$ est continue sur $I$.
Alors la fonction $\frac 1 f$ définie sur $I$ par $x\longmapsto \frac 1 {f(x)}$ est continue.
Démonstration.
Soit $t$ un nombre de $I$. Puisque $f(t)\neq 0$, il existe un réel $\alpha>0$, tel que $x\in I$ et $|x-t|\leq \alpha$ impliquent $|f(t)-f(x)|\leq \frac{|f(t)|}{2}$. On a donc
$-\frac{|f(t)|}{2}+ f(t) \leq f(x) \leq \frac{|f(t)|}{2}+ f(t)$.
On a alors deux possibilités :
- si $f(t)< 0$, la deuxième inégalité donne $f(x) \leq \frac{-f(t)}{2}+ f(t)=\frac{f(t)}{2}<0$
- si $f(t)> 0$, la première inégalité donne $f(x) \geq -\frac{f(t)}{2}+ f(t)=\frac{f(t)}{2}>0$.
Sur l'intervalle $I_t=]t-\alpha;t+\alpha[\cap I$,
$\frac 1 f$ est la composée de $f$ sur $I_t$ par $x\longmapsto \frac 1 x$ sur $]0;+\infty[$ ou sur $]-\infty;0[$ (selon le signe de $f(t)$).
$\frac 1 f$ est donc continue sur $I_t$, et en particulier en $t$.
Ceci étant vrai pour tout $t$, $\frac 1 f$ est continue sur $I$.
Remarque.
A travers cette démonstration, on voit qu'une fonction est continue sur un intervalle $I$ si et seulement si pour tout point $t$ de $I$, il existe un intervalle $I_t\subset I$ sur lequel la fonction est continue.
Propriété 7.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies et continues sur un intervalle $I$. On suppose que $g$ ne s'annule pas sur $I$.
Alors la fonction $\frac f g $ définie sur $I$ par $x\longmapsto \frac{f(x)}{g(x)}$ est continue sur $I$.
Preuve.
$\frac f g $ est le produit de fonctions continue $f\times \frac 1 g $.