$\mathbb Q $ (2). Fractions irréductibles. Aucun rationnel n'a 2 pour carré.

Cet article fait suite à 

• $\mathbb Q$ (0). Relation d'équivalence sur un ensemble. L'ensemble $\mathbb Q$
• $\mathbb Q$ (1). Structure de  corps de $\mathbb Q $. Ordre sur $\mathbb Q$

Cet article concerne les nombres rationnels. Nous donnons la définition de fraction irreductible et montrons que toute fraction est irréductible. On utilise le plus grand commun diviseur de deux nombres entiers.

Ensuite, nous montrons qu'il nexiste aucun nombre rationnel dont le carré vaut 2. 

Fractions irréductibles

On dit qu'un rationnel $x$ est représenté par une fraction $\frac a b$ irréductible si $\textrm{pgcd}(a,b)=1$.

Propriété 0. 

Chaque rationnel peut être représenté par une fraction irréductible. Si de plus le dénominateur de cette fraction est strictement positif, cette représentation est unique. Sinon, il y a exactement deux représentations irréductibles possibles.

Démonstration.

On pourra consulter l'article [Plus grand commun diviseur] au besoin.

Soit $x=\frac p q$ un rationnel. On note $d=\textrm{pgcd}(p,q)$.

Alors on a $p=dp'$ et $q=dq'$ pour des entiers relatifs $p'$ et $q'$. D'après la propriété [...], $\frac{p}{q}=\frac{dp'}{dq'}=\frac{p'}{q'}$.

De plus, $d'=\textrm{pgcd}(p',q')=1$. En effet, si $d'>1$, alors on aurait $p=dp'=dd'p''$ et $q=dq'=dd'q''$ pour des entiers relatifs $p''$ et $q''$. Ainsi $d'>1$ impliquerait que $dd'$ serait un diviseur commun à $p$ et à $q$ strictement supérieur à $d=\textrm{pgcd}(p,q)$ contredisant ainsi la maximalité de $d$ comme diviseur commun à $p$ et $q$.

$x=\frac{p'}{q'}$ est donc une représentation de $x$ par une fraction irréductible. 

Supposons que $\frac{a}{b}=\frac{p}{q}$ soit deux fractions irréductibles d'un même nombre $x$. On a $pb=aq$, donc $p$ divise $aq$ et est premier avec $q$. D'après le théorème de Gauss, $p$ divise $a$, donc il existe un entier relatif $m$ tel que $a=pm$. On a donc $pb=pmq$, d'où $b=mq$.

$m$ divise à la fois $a$ et $b$, donc il en est de même pour $|m|$. Comme $|m|$ divise $a$

 et $b$ et que $a$ et $b$ n'ont que $1$ comme diviseur commun positif, on en déduit que $|m|=1$ puis que $m=\pm 1$.

 Ainsi $b=m q $. On a donc exactement deux possibilités :

 

 (1) $m=1 $: $q=b$ et dans ce cas $p=a$

 (2) $m=-1 $: $q=-b$ et dans ce cas $p=-a$

 Il y a donc deux représentations irréductibles possibles dont l'une a un dénominateur strictement positif. 

Dans $\mathbb Q$, il n'existe aucun nombre dont 2 est le carré

Pour tout nombre rationnel $x$, le nombre $x\times x$ est appelé le carré de $x$. On note $x^2=x\times x$.

Montrons que $\mathbb Q$ ne contient pas de nombre dont le carré vaut 2. On aura pour cela besoin d'un peu d'arithmétique.

Un nombre entier relatif est dit pair s'il est multiple de $2$, il est dit impair sinon. La qualité pour un entier d'être pair ou impair est appelée sa parité.

Propriété 1. 

Pour tout entier $n$, $n^2$ a la même parité que $n$.

Démonstration.

Si $n=2k$, alors $n^2=4k^2=2(2k^2)$ est pair aussi.

Si $n$ n'est pas un multiple de 2, la division euclidienne de $n$ par 2 ne peut donner que $n=2k+1$ pour un certain entier $k$. On q alors $n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$, donc le reste de de $n^2$ dans la division euclidienne par $2$ vaut aussi $1$, d'où $n^2$ est impair.

Propriété 2.

Il n'y a aucun nombre rationnel dont le carré vaut 2.

Preuve. 

Par l'absurde. 

Supposons que $2=x^2=\left( \frac a b\right)^2=\frac{a^2}{b^2}$, avec $a,b$ positifs. Quitte à choisir un autre représentant de $x$, on peut supposer d'après la propriété 0 que $\textrm{pgcd}(a,b)=1$. Il est inutile de supposer que $a,b$ pourraient l'un ou l'autre être négatifs. En effet, si le résultat est vrai avec l'un ou l'autre négatif, il l'est aussi avec son/leurs opposé/opposés puisque le carré obtenu est le même.

Alors $a^2=2b^2$. D'après la propriété 1, $a$ est pair, on peut donc écrire $a=2a_1$. Ainsi $4a_1^2=2b^2$ puis $2a_1^2=b^2$. Comme précédemment, on peut en déduire que $b$ est pair, soit $b=2b_1$.

On a une contradiction avec car $\textrm{pgcd}(a,b)=1$ car $2$ divise à la fois $a$ et $b$.

Remarque. 

Si on connaît les nombres réels, le nombre positif $\sqrt 2$, le seul nombre réel positif dont le carré vaut 2, n'est donc pas rationnel.

Et ensuite

Dans d'autres articles, j'aimerai continuer à explorer l'ensemble $\mathbb Q $  des nombre rationnels. Par la suite, nous verrons pourquoi cet ensemble peut être comblé de ses lacunes pour former l'ensemble des nombres réels.