Voici un exercice niveau 1ère de la spécialité mathématique.
Des versions téléchargeables (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.
Thème. Suites, suites géométriques.
Niveau 1ère de la spécialité mathématique.
Exercice 5.
Résoudre l'équation
(E)\ \ \ \ \left| x^2-6\left| x\right|+7 \right| =1
La solution
Remarquons pour commencer que si a est une solution de (E), alors -a est aussi une solution de (E).
En effet puisque (-a)^2=a^2 et |-a|=|a|,
\left| a^2-6\left| a\right|+7 \right| =1 \Longleftrightarrow \left| (-a)^2-6\left| -a\right|+7 \right| =1
Il suffit de résoudre (E) pour x\geq 0. Dans ce cas, l'équation devient
(E')\ \ \ \ \left| x^2-6 x+7 \right| =1
D'après la propriété 1 de l'article Valeur absolue, (E') est équivalente à
\left\{ \begin{array}{lrcl} (1) & x^2-6x+7& =& 1 \\ & &\textrm{ou} & \\ (2)& x^2-6x+7& =& -1 \\ \end{array} \right.
Résolvons ces deux équations :
- L'équation (1) équivaut à x^2-6x+6=0 . On peut trouver les solutions de cette équation facilement à) l'aide du discriminant \Delta_1=(-6)^2-4\times 1 \times 6=12=2\sqrt 3>0 . Cette équation a donc deux solutions potentielles x_1=\frac{-(-6)-2\sqrt 3}{2}=3-\sqrt 3 et x_2=3+\sqrt 3 .
- L'équation (2) équivaut à x^2-6x+8=0. Comme précédemment l'utilisation du discriminant nous permet de trouver les solutions. On a \Delta_2= (-6)^2-4\times 1 \times 8=4. Cette équation a deux solutions potentielles x_3=\frac{-(-6)-2}{2}=2 et x_4=\frac{-(-6)+2}{4}.
Les solutions x_1,x_2,x_3,x_4 sont postives donc sont bien des solutions de (E').
Ainsi d'après la remarque précédente, les soltions de (E) sont x_1,x_2,x_3,x_4 et leurs opposés repsectifs.
Ci-dessous, l'ensemble des solutions de (E) :
\mathcal S_{E}=\left\{-(3+\sqrt 3) ; -4;-2;-(3-\sqrt 3);3-\sqrt 3 ; 2 ; 4 ; 3+\sqrt 3 \right\}
La solution
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