Voici un exercice niveau 1ère de la spécialité mathématique.
Des versions téléchargeables (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.
Thème. Suites, suites géométriques.
Niveau 1ère de la spécialité mathématique.
Exercice 5.
Résoudre l'équation
$$(E)\ \ \ \ \left| x^2-6\left| x\right|+7 \right| =1$$
La solution
Remarquons pour commencer que si $a$ est une solution de $(E)$, alors $-a$ est aussi une solution de $(E)$.
En effet puisque $(-a)^2=a^2$ et $|-a|=|a|$,
$$\left| a^2-6\left| a\right|+7 \right| =1 \Longleftrightarrow \left| (-a)^2-6\left| -a\right|+7 \right| =1 $$
Il suffit de résoudre $(E)$ pour $x\geq 0$. Dans ce cas, l'équation devient
$$(E')\ \ \ \ \left| x^2-6 x+7 \right| =1$$
D'après la propriété 1 de l'article Valeur absolue, $(E')$ est équivalente à
$$ \left\{ \begin{array}{lrcl} (1) & x^2-6x+7& =& 1 \\ & &\textrm{ou} & \\ (2)& x^2-6x+7& =& -1 \\ \end{array} \right. $$
Résolvons ces deux équations :
- L'équation $(1)$ équivaut à $x^2-6x+6=0 $. On peut trouver les solutions de cette équation facilement à) l'aide du discriminant $\Delta_1=(-6)^2-4\times 1 \times 6=12=2\sqrt 3>0 $. Cette équation a donc deux solutions potentielles $x_1=\frac{-(-6)-2\sqrt 3}{2}=3-\sqrt 3 $ et $x_2=3+\sqrt 3 $.
- L'équation $(2)$ équivaut à $x^2-6x+8=0$. Comme précédemment l'utilisation du discriminant nous permet de trouver les solutions. On a $\Delta_2= (-6)^2-4\times 1 \times 8=4$. Cette équation a deux solutions potentielles $x_3=\frac{-(-6)-2}{2}=2$ et $x_4=\frac{-(-6)+2}{4}$.
Les solutions $x_1,x_2,x_3,x_4$ sont postives donc sont bien des solutions de $(E')$.
Ainsi d'après la remarque précédente, les soltions de $(E)$ sont $x_1,x_2,x_3,x_4 $ et leurs opposés repsectifs.
Ci-dessous, l'ensemble des solutions de $(E)$ :
$$\mathcal S_{E}=\left\{-(3+\sqrt 3) ; -4;-2;-(3-\sqrt 3);3-\sqrt 3 ; 2 ; 4 ; 3+\sqrt 3 \right\} $$
La solution
D'autres exercices
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