Cet article fait suite à
- [N1] \mathbb N (1). Définition de l'ensemble des entiers naturels. Axiomes de Peano. Récurrence.
- [N2] \mathbb N (2) Addition des nombres entiers naturels.
- [N3] \mathbb N (3). La multiplication.
De la façon dont \mathbb N a été construit (axiomes de Peano) 0 est le plus petit élément de \mathbb N.
Nous allons ordonner de manière évidente les éléments de \mathbb N :
0,1,2,3 \ldots
Ceci définira une relation \leq sur \mathbb N appelée relation d'ordre.
Nous verrons aussi quelques propriétés vérifiées par "\leq" en rapport avec les opérations de \mathbb N définies dans les articles précédents, l'addition et la multiplication.
Définition de la relation \leq
Pour tout a\in \mathbb N , si b=a+n, avec n\in \mathbb N, on note a\leq b, et on dit que a est inférieur ou égal à b.
Remarquons en particulier que pour tout n, 0\leq n.
Propriété 1 (réflexivité). Pour tout a\in\mathbb N, a\leq a.
Preuve. a=a+0.
Lemme A. Si a=a+k, alors k=0.
Démonstration. Par récurrence sur a.
Si a=0, alors 0=0+k implique 0=k, ce qui initialise la propriété.
Supposons que a=a+k implique k=0, et supposons que a+1=(a+1)+k.
Le successeur de a est a+1 et le successeur de a+k est (a+k)+1=(a+1)+k par commutativité et associativité de l'addition. Comme a et (a+k) ont le même successeur a+1=(a+1)+k, ils sont égaux d'après l'axiome N°4 de Peano. Donc a=a+k, d'où l'on déduit par l'hypothèse de récurrence que k=0.
Propriété 2 (antisymétrie). Si a\leq b et b\leq a, alors a=b.
Démonstration. a\leq b implique b=a+c et b\leq a implique a=b+d. On en déduit que a=b+d=(a+c)+d=a+(c+d)
En prenant k=c+d, le lemme A nous permet de conclure.
Lemme B.
Tout entier a différent de 0 admet un prédécesseur, nous le noterons a-1.
Démonstration. En effet, cela sur montre par récurrence sur a : "Si a est un entier naturel, soit a=0 soit a est le successeur d'un entier naturel b, i.e. a=b+1."
- Initialisation. Si a=0, alors a la propriété est vérifiée.
- Hérédité. Supposons que "Si a est un entier naturel, soit a=0 soit a est le successeur d'un entier naturel b, i.e. a=b+1."
Alors a+1 est clairement le successeur de a. (On n'utilise pas l'hypothèse de récurrence !)
Propriété 3 (transitivité). Si a\leq b et b\leq c, on a a\leq c.
Démonstration. b=a+k et c=b+m donc c=(a+k)+m=a+(k+m).
Ces trois propriétés (réflexivité, antisymétrie et transitivité) font de la relation \leq ce que l'on appelle une relation d'ordre.
Propriété 4 (totalité). Si a et b sont deux entiers naturels, alors on a toujours a\leq b ou b\leq a.
Démonstration. Faisons une démonstration par récurrence sur b.
Si b=0, c'est vrai, car 0\leq a.
Supposons que pour un certain b, b \leq a ou a\leq b et montrons que cela implique a\leq b+1 ou b+1\leq a.
Cas où a\leq b. Alors b=a+c donc b+1=(a+c)+1=a+(c+1), et a\leq b+1.
Cas où b\leq a. Alors a=b+c. Si c=0, alors b=a=a+0 donc a\leq b, et on est ramené au cas précédent. Supposons donc c différent de 0. c est donc le successeur d'un nombre c-1, ou encore c=(c-1)+1. On ainsi a=b+c=b+((c-1)+1)=(b+1)+(c-1) par commutativité et associativité de l'addition.
Par conséquent b+1\leq a.
Cette dernière propriété (totalité) fait de \leq ce que l'on nomme une relation d'ordre totale.
Compatibilité de \leq avec + et \times
Propriété 5.
Si a\leq b et c\leq d , alors a+c\leq b+d.
En particulier a+c\leq b+c.
Preuve. On a b=a+n et d=c+m, donc b+d=(a+n)+(c+m)=(a+c)+(n+m). On obtient la suite avec c=d.
Propriété 6.
Si a\leq b, alors pour tout entier naturel k, on a k\times a\leq k \times b.
Preuve. On suppose a\leq b. Par récurrence sur k.
Si k=0, alors k\times a=0 et k\times b =0 donc la propriété est initialisée.
Supposons que k\times a\leq k\times b. D'après la propriété 5, on a donc (k\times a)+a\leq (k\times b)+b, c'est-à-dire (k+1)\times a \leq (k+1)\times b.
La relation \geq
Si a\leq b, on note b\geq a et on dit que b est supérieur à a.
On vérifier facilement que \geq est aussi une relation d'ordre totale sur \mathbb N.
On remarque également en utilisant la réflexivité de \leq que
a=b \Longleftrightarrow a\leq b\ \textrm{et}\ b\geq a
Les relations < et >
Si a\leq b et a\neq b, on note a<b. On dit alors que a est strictement inférieur à b.
On a donc une relation < que n'est pas réflexive. Elle est dite antiréflexive.
La transitivité est vraie pour <.
La totalité de < est stricte dans le sens ou deux éléments distincts a et b vérifient a<b ou bien b<a.
Concernant l'antisymétrie, elle est vraie car on ne peut pas avoir à la fois a<b et b<a.
On dit que < est une relation d'ordre stricte totale.
La relation > définie par
a>b \Longleftrightarrow b<a
est clairement aussi une relation d'ordre stricte totale. On dit que a est strictement supérieur à b.
Propriété A.
Si a<b alors a+k<b+k.
Démonstration.
Par récurrence sur k.
- Si k=0, il n'y a rien à montrer.
- Supposons que pour tous a,b, avec a<b : a<b implique a+k<b+k.
Alors d'après la propriété 5, comme a+k\leq b+k, on a a+k+1\leq b+k+1.
Si a+k+1=b+k+1, alors par unicité du prédécesseur, a+k=b+k contredisant a+k<b+k.
Propriété B.
Soit k un entier naturel différent de 0.
(1) Si ak=bk, alors a=b.
(2) Si ak\leq bk, alors a\leq b.
Preuve.
(1) Si a\neq b, disons a<b, alors ak<bk.
(2) Si a>b, alors ak >bk.
Et ensuite
Dans des articles à venir, nous pourrons définir la soustraction des entiers naturels et la division euclidienne. Nous pourrons aussi aborder la méthode de descente infinie de Fermat.
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